Discussion:Intégration par changement de variable

J'ai déplacé ce qui ne se rapportait pas au calcul différentiel et intégral sur changement de variable (simplification algébrique), dont la contribution de Utilisateur:Sab. Je n'y avait pas pensé d'avance: le crédit n'apparaît pas sur la nouvelle page (mes excuses). Gene.arboit 18 août 2005 à 16:21 (CEST)

Intégrale de lebesgue

Il faudrait rajouter une parite concernant la théorie de lebesgue et le changement de variable. Soonix 4 juin 2007

Enoncé

Il ne faut pas aussi que phi prime soit non nulle sur ]a,b[ ?

définition : phi doit -elle être bijective ?

Je recopie le message d'un lecteur sur la page :

Cet énoncé me paraît incomplet, il faut en effet que la fonction Phi soit également monotone sinon on arrive à des résultats faux.

Par exemple prenons f : [-1, 1] --> IR avec f(x) = (1-x²)^(1/2) et Phi : IR --> IR avec Phi(t) = sin t

L'intégrale de f(x) entre 0 et 1 peut s'écrire, d'après l'énoncé, comme l'intégrale de la fonction compsée f o Phi(t) entre 0 et 5Pi/2. Or cela donne 5Pi/4, ce qui est faux. La bonne réponse est Pi/4, puisque c'est la surface du quart de cercle de centre O et de rayon 1 situé dans le premier quadrant.

Le problème vient, me semble-t-il, du fait qu'il aurait fallu définir la fonction Phi dans l'autre sens, c'est à dire exprimer la nouvelle variable t comme une fonction de x.

Pierre

 — Florian, le 18 mai 2008 à 16:00 (CEST)

Réponse :
Alors il n'y a aucune raison en réalité qui demande quoi que ce soit de plus à Phi... Le fait est que ton contre exemple n'en est pas un. En effet, l'intégrale de (1 - x²)^(1/2) est bien Pi / 4, et après le changement de variable par phi(x) = sin(x), on se retrouve avec trois intégrales différentes (puisque cosinus change de signe).

On a alors int[0, Pi / 2](cos²(x) dx) - int[Pi / 2, 3 * Pi / 2](cos²(x) dx) + int[3 * Pi / 2, 5 * Pi / 2](cos²(x) dx)

Les deux dernières se neutralisent (cos² est Pi-périodique), et il ne reste la première, et idem avec 9 Pi / 2 et ainsi de suite...

Le fait intéressant est que Maple se plante en calculant l'intégrale avec le changement de variable... Il primitive un peu à la va-vite et se retrouve avec un résultat dont une composante est thêta / 2... Par contre, lui faire calculer avec une somme de Riemann (cf plus bas) permet de retomber sur le bon résultat !

(* Calcul par le changement de variable Phi entre 0 et 5 Pi / 2 *)

f2 := x -> cos(x) * sqrt(1 - sin(x)^2): eval(f2(x));
(* Erreur ! Maple se plante ! *)
int(f2(x), x=0..5 * Pi / 2);
(* Notion de somme de Riemann, pas d'erreur ! *)

limit(5 * Pi * sum(f2(5 * Pi * k / (2 * n)), k=1..n) / (2 * n), n = +infinity);

Emmanuel Bossière ^→Contact, le 25 juin 2008 à 20:12 (CEST)

phi injective ?

Dans la démonstration, il n'est pas précisé quand on a utilisé phi injective. En effet, il suffit de supposer que $\phi (c)=\phi (b),b\neq c$ et la démonstration marche sur l'intervale [a,b] aussi bien que sur [a,c]. Pourtant, il faut bien que phi soit injective non?

Edit: Non, mon professeur de maths m'affirme qu'il n'y a pas besoin de l'injectivité de phi. Il faut juste que ce soit C1. La surjectivité étant implicite, dès que l'on a écrit phi(a) et phi(b).--Timeflow (d) 25 janvier 2009 à 20:25 (CET)

Un plan à revoir ?

La plupart des articles traitant des sujets en rapport avec les mathématiques sont très bien construits. Cependant je trouve que celui-ci n'est pas très clair, on commence par le principe (qui me semble un peu inutile) puis un exemple et enfin l'énoncé. Le lecteur ne cherche-t-il pas en premier lieu l'énoncé ?

Cordialement.

Explication pas claire

Salut!

Je trouve que la partie "Principe" (et un peu ce qui suit, inévitablement), manque de clarté. Pour quelqu'un qui maîtrise parfaitement le sujet, l'explication doit probablement être très claire, mais peut-il en être autrement à moins d'une faute factuelle?

Pour un débutant comme moi (je sais intégrer, mais ne maîtrise pas bien le changement de variable), cet article est d'un secours très modéré quand il s'agit, notamment, de comprendre par quoi remplacer les bornes de l'intégrale après avoir fait le changement de variable. Une explication plus détaillée et un exemple plus général seraient préférables à mon avis.

J'ai pour tâche (à l'école) de démontrer l'intégrale de Gauss, et il me semble que je dois procéder à un changement de variable. J'y arrive assez bien, mais au moment d'appliquer le changement de variable aux bornes ("infini" et -"infini"), j'obtiens des résultats différents si j'injecte "infini" (ou -"infini") dans la formule factorisée ou défactorisée. En gros, cet article ne m'aide pas.

Merci pour votre attention.

C¹-difféo

Un ajout dans le même esprit que le dernier d'aujourd'hui est (cf. sections ci-dessus) certainement nécessaire, mais à faire plus clairement et à placer à un meilleur endroit. L'énoncé tel qu'il est rédigé est correct, et était appliqué correctement dans l'exemple, donc l'ajout récent n'est pas adéquat tel quel. Anne 19/4/15 21h30

A propos de l'exemple

Salut Sauf erreur de ma part, il me semble que l'exemple est foireux. Il faudrait vérifier l'inclusion de phi[-sqrt(pi/2); 2sqrt(pi/2] dans [pi/2; 2pi], d'après: https://fr.wikiversity.org/wiki/Changement_de_variable_en_calcul_int%C3%A9gral/Formule_fondamentale_du_changement_de_variable ici [0;2pi] n'est pas inclus dans [pi/2);2pi] alors pourquoi çà marche ici: parce que la fonction qu'on intègre est impaire et que l'intégrale sur[-racine(pi/2);0] annule l'intégrale sur [0;racine(pi/2)] Mais c'est le fruit du hasard me semble-t-il? --Fred65000 (discuter) 23 mai 2020 à 17:50 (CEST)--Fred65000 (discuter) 13 mai 2020 à 17:19 (CEST)

Non, ce qu'il faudrait vérifier, c'est que le cours de Wikiversité ne dit pas de bêtise. Parce que les conditions données ici sont effectivement remplies, et donc il n'y a pas d'erreur : phi n'est en effet pas injective, et pourtant la formule est légale...(en fait elle est assez triviale en revenant à la définition de l'intégrale par F(b)-F(a), et en vérifiant que les conditions pour que cette définition s'applique sont bien remplies) --Dfeldmann (discuter) 13 mai 2020 à 17:52 (CEST)

OK merci pour la précision. Effectivement, ça discute beaucoup sur l'article de wikiuniversité à ce sujet. Mes excuses auprès de l'auteur.--Fred65000 (discuter) 14 mai 2020 à 18:21 (CEST)