Discussion:Partition de l'unité

Support dans $U_{\gamma }$

Dans la "démonstration topologique", le support étant fermé par définition, rien ne prouve a priori que le support de $g_{\gamma }$ est dans $U_{\gamma }$...

Il vaut mieux reprendre la preuve du Bourbaki qui n'introduit pas les fonctions $g_{i}$ dans un premier temps : la première étape est de montrer qu'il existe un recouvrement $(B_{i})$ tel que ${\overline {B_{i}}}\subset U_{i}$. Dans un second temps on peut appliquer une deuxième fois cette proposition pour introduire un recouvrement $(C_{i})$ tel que ${\overline {C_{i}}}\subset B_{i}$. En définissant des $g_{i}$ qui valent $1$ sur ${\overline {C_{i}}}$, elles sont positives sur $B_{i}$, nulles en dehors et leur support (fermé) est bien inclus dans $U_{i}$.

Pour ce qui est de la première étape, il faut reprendre la preuve du Bourbaki qui introduit un ensemble $V$ tel que ${}^{c}U_{\gamma }\subset V$ et ${\overline {V}}\subset C$ (utilisation de T4) et définir $B_{\gamma }={}^{c}{\overline {V}}$ (car alors ${\overline {B_{\gamma }}}={}^{c}V\subset U_{\gamma }$).

--Fabrej0 (discuter) 1 mai 2022 à 12:09 (CEST)

Théorème 2

Dans la démo du théorème 2, on invoque la paracompacité pour dire qu'il existe un recouvrement localement fini $(\Omega '_{i})_{i\in I}$ tel que ${\overline {\Omega '_{i}}}\subset \Omega _{i}$. Avec la paracompacité on a uniquement l'existence d'un recouvrement localement fini $(\Omega '_{j})_{j\in J}$ tel que pour tout $j\in J$ il existe $i\in I$ tel que $\Omega '_{j}\subset \Omega _{i}$...

--Fabrej0 (discuter) 1 mai 2022 à 12:10 (CEST)