Discussion:Polynôme minimal des valeurs spéciales trigonométriques

Remerciements

Cet article n'aurait jamais existé sans l'article « Polynôme minimal trigonométrique » de Charles Dyon (d · c · b). L'article original a depuis été supprimé de l'espace encyclopédique, car c'était un travail inédit et car il comportait des erreurs. Néanmoins, il a joué le rôle de déclencheur.

On peut toujours consulter l'article original ici. --MathsPoetry (discuter) 13 août 2013 à 17:58 (CEST)

Notation pour les combinaisons

Salut Daniel,

Je ne comprendrai jamais pourquoi on remplace la jolie notation pour les combinaisons par ce vilain machin qui ressemble à des coordonnées... J'ai vu ton commentaire "pourquoi faire simple quand on peut faire compliqué", mais je ne suis pas persuadé que deux parenthèses soient plus simples que la lettre C.

Enfin. Tu as sans doute une bonne raison à ce changement, donc je laisse. --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 17:48 (CEST)

Pour les combinaisons, c'est encore la faute des anglo-saxons ; voir l'article Coefficient du binôme. Du point de vue d'un prof, c'est de fait plus pédagogique, parce que la notation ${n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}=\prod _{j=0}^{k-1}{\frac {n-j}{k-j}}$ met les fractions "dans le bon sens"...--Dfeldmann (discuter) 12 août 2013 à 20:15 (CEST)

En revanche, c'est nul d'un point de vue visuel et mnémotechnique... Euh, dans l'éducation nationale française il y a quoi en ce moment ? Ce serait logique de s'aligner. De mon temps, c'était A (arrangements) et C (combinaisons). --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 20:35 (CEST)

Ouh là, ça nous rajeunit pas Non, ça fait une douzaine d'années que c'est changé. Si, mnémotechniquement, je trouve mieux d'avoir les fractions dans le même sens, et mes élèves aussi. Enfin, chacun ses goûts. Si tu veux des raisons plus sérieuses, va voir les notations pour les nombres de Stirling (et les arguments de Knuth)...--Dfeldmann (discuter) 12 août 2013 à 21:10 (CEST)

Un ordre "compatible" avec les fractions est effectivement plus logique. De toute façon, noter un truc en haut ou en bas, c'est complètement arbitraire. Reste que je trouve la notation anglo-saxonne propice aux confusions, je vois à chaque fois une matrice ou des coordonnées quand je tombe dessus. --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 22:32 (CEST)

Polynôme unitaire

Euh oui...

La formule explicite du polynôme minimal pour les sinus dans le cas particulier n premier ne donne pas un polynôme de coefficient de plus haut degré 1. J'ai rattrapé ça avec une vilaine périphrase.

J'ai effectivement constaté sur les différents articles anglo-saxons qu'ils n'exigeaient pas que le polynôme soit unitaire. C'est le cas en particulier dans la méthode de calcul du cosinus, c'est moi qui ai ajouté la division par 16 à la fin.

Est-ce qu'il est seulement vrai que les polynômes minimaux ont un coefficient 1 ? Ou c'est une invention (TI) de la WP française et anglaise ? --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 18:01 (CEST)

Wolfdieter Lang (un allemand) les considère comme "monic" (unitaires). Il se peut qu'il n'y ait pas unanimité sur la question, ou que certains auteurs le sachent mais s'en fichent. --MathsPoetry (discuter) 13 août 2013 à 11:17 (CEST)

Vérifiabilité de la formule de Beslin et De Angelis

Leur article n'est pas en libre accès (il est sur JStor si tu as un abonnement), mais cette formule est reprise sur MathWorld : Trigonometry Angles.

Pour ton autre expression de la formule, je ne suis pas convaincu du tout (et c'est de toute façon du TI). --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 18:14 (CEST)

Mouais... la remarque de base est que (-1)^k=(-1)^a(-1)^(a-k), le reste est à peu près trivial, et c'est la raison pour laquelle j'ai vraiment du mal à croire à l'intérêt de publier une formule aussi moche là où la mienne (équivalente) marche mieux. Mais d'autre part, j'ai du mal de toute façon avec cette formule. Je vérifie totu ça et j'y retourne. Parce que bon, on est quand même en maths, et la vérifiabilité passe aussi par le fait de contrôler les formules, plutôt que de les recopier d'une source (surtout si elles sont fausses sur cette source)...--Dfeldmann (discuter) 12 août 2013 à 19:01 (CEST)

Bon, après contrôle (mais pas de leur article), je vois bien où est le problème : ces polynômes sont tout simplement les développement de la formule de Moivre, et ils ne se sont pas fatigués à simplifier l'écriture, parce que de toute façon on retombe sur les polynômes de Tchebychev, et que leur article n'est nullement un article de recherche, mais de synthèse. En fait, le seule intérêt de ce polynôme est l'affirmation qu'il est minimal pour p premier. Bref, on peut garder ça dans l'article, mais ça n'a pas non plus un intérêt immense, et je te donne bien volontiers acte que simplifier l'écriture est un TI, même si je pense que dans d'autres circonstances, je me battrai pour trouver une source donnant la forme simplifiée.--Dfeldmann (discuter) 12 août 2013 à 19:11 (CEST)

Compris. Pour l'intérêt, c'est dans mon esprit juste pour dire qu'on a des formules explicites dans certains cas... Pour l'article, je peux éventuellement te communiquer le PDF.

Sans rapport : que penses-tu de la partie "méthode de calcul" ? --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 19:53 (CEST)

Ben en tant que prof, j'aime bien, mais comme encyclopédiste, je suis plus réservé (cf le célèbre Ce que WP n'est pas...). Mais en tout cas, c'est juste, même si on voit pas bien pourquoi choisir cos (26 pi/15), qui est égal à cos (4pi/15)...--Dfeldmann (discuter) 12 août 2013 à 20:18 (CEST)

Oui, il faudrait éviter les côtés "guide pratique" et "cours magistral". En même temps, ne pas trouver de réponse à cette question m'a vraiment énervé. Peut-être qu'en allant plus vers la justification de la méthode, cela accentuerait l'aspect encyclopédique...

Pourquoi cos (26 pi/15) ? Euh, "manque d'inspiration", ça te va, comme réponse  ? Va pour 4 pi / 15. --MathsPoetry (discuter) 12 août 2013 à 20:33 (CEST)

calcul des lignes trigonométriques : degrés contre radians

la propriété

"tous les angles de la forme k*pi/n ont des lignes trigonométriques algébriques"

me semble un argument très fort pour l'abandon dans les calculs numériques des radians au profit des degrés. En effet, un angle de 180*k/n degrés pourra souvent avoir une représentation virgule flottante exacte, ce qui n'est jamais le cas de k*pi/n radians, pi n'ayant aucune représentation numérique exacte finie. Or, pourquoi s'intéresser à l'exactitude des lignes trigonométriques d'un angle lui-même imprécis ?? Eliminer les radians assainirait donc les calculs trigonométriques effectivement numériques.

--Lf69100 (discuter) 20 septembre 2016 à 17:00 (CEST)

Bonjour,

Les pages de discussion de Wikipédia sont là pour parler de l'amélioration des articles, pas du fond du sujet traité.

Pour une discussion sur le sujet lui-même, se rapporter à un des nombreux forums du Web.

Sinon, pour vous répondre quand même, le fait d'avoir une représentation en base 10 imprécise ne rend pas un angle comme pi/2 "imprécis". --Catarella (discuter) 20 septembre 2016 à 21:30 (CEST)

Cordialement, --Catarella (discuter) 20 septembre 2016 à 21:29 (CEST)

Dans n'importe quelle base entière, calculer pi exactement suppose une éternité, avec un espace de la même taille : dans l'univers du calculable, pi est plus un concept qu'une valeur effective. De ce fait, "pi/15-pi/18" est numériquement toujours plus vaseux que "12°-10°", quelle que soit la base de numération. La trigonométrie de Wildberger n'est qu'un remède partiel à ce malaise, qui entache le calcul des fonctions trigonométriques standards. Cet article devrait remplacer les angles en radians par des angles en degrés...--Lf69100 (discuter) 21 septembre 2016 à 18:12 (CEST)

Je rejoins Agatino Catarella : bien qu'on ait maintenant un petit début d'argumentation, on est loin d'avoir de quoi justifier un remplacement des écritures d'angles en radians par un multiple de π, qui reste encore ce qu'il y a de plus couramment utilisé. Kelam (discuter) 21 septembre 2016 à 18:35 (CEST)

Cher  Lf69100, il n'y a aucun besoin de calculer pi. Il est très bien sous forme de lettre. À titre d'illustration, je vous propose ce petit exercice : remplacez partout "pi radian" par "demi-tour". Par exemple, "pi/15 radian", c'est "1/15 demi-tour". Ça va mieux ? C'est plus calculable et intuitif à la fois.

Par ailleurs, la base dix, et le degré, sont complètement arbitraires (ça a voir avec nos doigts et les peuples anciens du côté de l'Irak). Alors que le radian correspond à une construction mathématique objective et naturelle, ce qui est un argument très fort pour l'utiliser. Et encore plus dans des articles de maths comme celui-ci.

Par exemple, vos 10 degrés, c'est B,1C 71 C7 1C... grades en base 16. Il y a 400 grades dans un cercle, c'est beaucoup plus intuitif que 360, et la base 16, c'est vachement mieux pour la calculabilité, puisque c'est le mode de calcul naturel des ordinateurs.

Si vous m'aviez parlé d'habitudes, j'aurais compris. On a en effet l'habitude des degrés. Mais ils ne sont en rien plus "exacts" que des écritures en radians. --Catarella (discuter) 21 septembre 2016 à 19:45 (CEST)

Par ailleurs, il y a de très solides raisons d’utiliser les radians en physique ou en calcul différentiel ou intégral, par exemple lim (x->0) (sin x)/ x =1 pour x en radians ; en degrés, ça marche beaucoup moins bien…--Dfeldmann (discuter) 21 septembre 2016 à 21:10 (CEST)

Radians, grades et millièmes d'artilleur posent le même problème : pas de représentation numérique virgule flottante exacte pour les angles géométriquement remarquables, multiples de 3°. Une rotation de 100,25 tours ne se ramène pas sans casse à un angle en radian dont on sait calculer les lignes, mais se ramène sans drame à 90°. Quant aux virgules flottantes hexadécimales, l'imprécision de leur codage est connue depuis 1965. Mais certains aspects n'apparaissent qu'en enquêtant sur l'origine d'erreurs inexplicables dans l'exécution de programmes corrects. --Lf69100 (discuter) 22 septembre 2016 à 23:37 (CEST)

C’est vrai, et la base 60 permet plus de calculs exacts que la base 10. Cependant, l’unité internationale d’angle est le radian ; l’explication est sûrement que les promoteurs de ce système étaient tous idiots, et/ou payés par la conspiration des fabricants de calculettes…--Dfeldmann (discuter) 23 septembre 2016 à 00:35 (CEST)

Vous avez décidément des notions bizarres d'exactitude et d'imprécision. Essayons de comprendre : B,1C71C71C71C7... (base 16) serait imprécis, alors que 1/7 = 0,142857142857... (base 10) serait précis ? Ou pas ? Éclairez-moi.

Ce que j'essaye de vous expliquer, c'est que vous semblez avoir un attachement sentimental et irrationnel au degré et à l'écriture décimale, qui vous sont peut-être familiers, mais n'en sont pas moins issus de conventions complètement arbitraires. La base 16 n'est pas un codage plus imprécis que la base 10 !

De la même façon, 10 degrés, c'est 11,1111111... grades, bien loin d'une écriture simple. Si l'on raisonne en grades, 11 grades devient une valeur simple, et 11,11111... un truc pas pratique. Et je ne vois aucune raison pour laquelle les degrés seraient mieux que les grades.

Je vous signale par ailleurs que les nombres que l'on trouve dans la nature ont toutes les chances d'avoir des écritures décimales complètement irrégulières. Des valeurs comme 10 ou 1/8 sont l'exception, pas la règle. Il y a infiniment plus de réels que de rationnels. Ce fétichisme du "nombre exact" ne correspond donc même pas à ce que l'on trouve dans la nature. --Catarella (discuter) 23 septembre 2016 à 00:49 (CEST)

Nous n'avons pas la même expérience. La précision d'une virgule flottante dépend de son gabarit et de sa base.

Pour les bases :

• la base 2 est imposée par nos technologies, et sous-tend les bases 2**k ; un minimum de 36 bits de mantisse semple souhaitable ;
• Knuth a établi l'intérêt de la base 3 (de préférence avec chiffres signés);
• la base 8 a été utilisée notamment par Burroughs (en 48 et 96 bits)
• la base 10 est celle de nos comptables ; elle ne se défend qu'en termes de communication homme/machine (mais dans les années 1900 la Grande-Bretagne a envisagé la base 12)
• la base 16 fut une idée médiocre - sa normalisation faisant perdre jusqu'à 3 bits de précision, rendait critique une simple précision trop courte ;
• la notation ingénieur pourrait demander une base 1000 ;
• mais pour éviter la corruption progressive des calculs, les bases préférables, maximisant le nombre de représentations exactes, devraient être des primorielles : au-delà de 2, 6, voire 30 (faible déficit par rapport à 32) ou 210 (faible déficit par rapport à 256).

Pour les fonctions standards (sinus, log, exponentielle), leur test en vue de leur déverminage a mis à la poubelle de nombreuses idées de la doxa mathématique (à commencer par les développements en série de Taylor) ; car vérifier leur validité fait découvrir des imprécisions, des crevasses, des problèmes de recollement, comme j'ai pu le vérifier avec ou contre certains fournisseurs -- sans parler d'une fonction signe() qui était fausse.

Dans ces conditions, les degrés, qui donnent une représentation numérique exacte pour les angles géométriquement remarquables, sont préférables aux radians, aux grades etc... comme la racine carrée est préférable à la puissance 1/2, ainsi que le soulignait Wirth, ou le logarithme ayant comme base celle de la virgule flottante aux autres logarithmes, plus vendeurs mais numériquement moins sûrs. --Lf69100 (discuter) 23 septembre 2016 à 10:47 (CEST)

C'est un dialogue de sourd, et il y aurait beaucoup à dire (par exemple, la doxa mathématique ne vous a pas attendu pour découvrir les approximants de Padé), mais cette page n'est pas un forum ; allez, vous trouverez bien ailleurs sur le Web infini des gens prêt à entendre vos arguments...--Dfeldmann (discuter) 23 septembre 2016 à 11:50 (CEST)

Même impression de parler dans le vide et de recevoir des réponses à côté de la plaque. Pas la peine de continuer. --Catarella (discuter) 23 septembre 2016 à 13:06 (CEST)

Si des programmes scientifiques (voire des fonctions pures) formellement exacts donnent des résultats faux, c'est en dernière analyse du fait de défauts des fonctions standards(trigonométriques ou non), ou de la virgule flottante, ou d'imprudences dans leur emploi. Le calcul effectif d'un invariant comme sin(x)+sin(pi+x) diffère très souvent de 0 ; sindeg(xdeg)+sindeg(180+xdeg), en supposant sindeg programmé indépendamment, peut être nul plus souvent, et, en ce sens au moins, de meilleure qualité. C'est pourquoi... (voir le début). --Lf69100 (discuter) 24 septembre 2016 à 23:21 (CEST)

Je me permets de rétablir mon texte, et, bien que l’envie ne m’en manque pas, je n’effacerai ni ne commenterai le vôtre.--Dfeldmann (discuter) 25 septembre 2016 à 02:11 (CEST)