Discussion:Prébase

Démonstration du théorème d'Alexander à revoir

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Proposé par : Theon (discuter) 18 juillet 2020 à 16:58 (CEST)

Raisons de la demande de vérification

La démonstration du théorème d'Alexander est un peu expéditive. Il faudrait justifier davantage le fait que, si l'ultrafiltre U diverge, alors il ne contient aucune des prébases $A_{x}$. Theon (discuter) 18 juillet 2020 à 16:58 (CEST)

Discussions et commentaires

Déjà vérifié et sourcé (le 26/1/2013) et revérifié aujourd'hui : rien ne manque, les détails sont dans les liens internes. Qu'est-ce qui te manque ? Anne, 20/7/2020 à 10 h 11

Si U diverge, il ne contient aucun filtre de voisinages de quelque point que ce soit (c'est quasiment la définition). Donc il ne contient aucune base de filtre de ces voisinages, OK. Mais pour une prébase, je trouve que c'est un petit peu moins évident. La démonstration telle qu'on la lit serait en tout point identique si elle s'appliquait à une base et on ne voit pas où le fait qu'on a une prébase demande un petit effort de plus à faire. Il me semble que c'est ce point qui fait l'intérêt du théorème d'Alexander. Mais, bon, c'est un sentiment personnel. Theon (discuter) 20 juillet 2020 à 15:05 (CEST)

C'est vraiment pareil pour les prébases que pour les bases : si P est une prébase d'un filtre V alors tout filtre contenant P contient V. L'« intérêt du théorème d'Alexander », ou plutôt sa force, est que pour sa version affaiblie (en remplaçant « prébase » par « base ») il y a une preuve plus « élémentaire » au sens où elle n'utilise pas la théorie des filtres. En tous cas on ne colle pas un disgracieux bandeau « à vérifier » sur une preuve que l'on sait correcte, juste parce qu'on croit qu'elle devrait d'être plus détaillée. Anne, 21/7, 6 h 55

Tu as raison, la pose de mon bandeau était un peu radicale. J'aurais dû plutôt ouvrir un fil de discussion. La démonstration repose en effet sur la propriété que tu énonces « si P est une prébase d'un filtre V alors tout filtre contenant P contient V », qui est sous-entendue. Elle suppose donc que le lecteur le sache. Or le lecteur qui arrive sur cette page est censé découvrir ce qu'est une prébase d'ouverts. Il est donc certain qu'il ignore ce qu'est une prébase de filtre (il y a un lien, certes...). Elle mériterait donc d'être clairement explicitée. Le nombre de lecteurs sachant ce qu'est un filtre est faible, celui sachant ce qu'est une base de filtre encore plus, celui sachant ce qu'est une prébase de filtre est infime. Je ne sais pas si elle figure dans l'un des liens internes, mais on ne va pas non plus cliquer sur tous les liens pour voir si elle est énoncée quelque part. Par ailleurs, je ne sais pas si elle a sa place dans le présent article qui parle de prébase d'ouverts et non de prébase de filtre. On peut envisager deux possibilités : ou bien on développe le présent article pour parler d'une part de prébase d'ouverts, d'autre part de prébase de filtre. Ou bien on développe un paragraphe prébase dans l'article filtre (mathématiques) en donnant quelques propriétés qui n'y figurent pas, par exemple qu'un filtre converge vers x ssi il contient une prébase du filtre des voisinages de x. La première possibilité est peut-être mieux car elle permettrait dans le présent article d'énoncer les rapports entre prébase d'ouverts et prébase de filtre. Theon (discuter) 21 juillet 2020 à 15:34 (CEST)

Un rapport entre prébase d'ouverts et prébase de filtre est le point énoncé juste avant ce théorème, avec le seul lien pertinent (Filtre (mathématiques)#Bases de filtre, que je viens de rendre plus visible, pour éviter encore plus au lecteur de « cliquer sur tous les liens »). Je ne sais pas s'il y a d'autres rapports. Si on ne développe pas dans cet article la notion de prébase de filtre, je suis d'accord qu'il serait plus honnête d'expliciter dans l'intro que cette notion existe et mettre ce lien pertinent dès l'intro. Quant à la principale propriété des prébases de filtre, elle est déjà énoncée là-bas (le filtre dont P est une prébase est le plus petit filtre contenant P). Je ne me rends pas compte si d'autres propriétés comme ton corollaire "un filtre converge vers x ssi il contient une prébase du filtre des voisinages de x" sont anecdotiques ou sourçables. Anne, 21/7, 19 h 47

Excuse-moi. Je devais avoir oublié mes lunettes ou être fatigué. Je n'avais pas vu effectivement que le lien entre prébase d'ouverts et prébase de voisinage figurait juste au-dessus du théorème. J'ajoute quand même à l'article le corollaire sur la convergence parce qu'il rend un peu moins elliptique la démonstration du théorème d'Alexander. Crois bien que j'apprécie toutes tes interventions sur Wikipedia et que j'ai repéré depuis bien longtemps que ta signature était particulièrement fiable. Pour me faire pardonner, je me permet de citer un extrait de Diderot (un peu adapté ) : « Que savons-nous ? Ce que c'est que la matière ? Nullement ; ce que c'est que l'esprit et la pensée ? Encore moins ; ce que c'est que le mouvement, l'espace et la durée ? Point du tout ; des vérités géométriques ? Interrogez des mathématiciens de bonne foi, et ils vous avoueront que leurs propositions sont toutes identiques, et que tant de volumes sur les prébases de filtre, par exemple, se réduisent à nous répéter en cent mille façons différentes, que c'est une famille de parties pour laquelle toute intersection finie est non vide. Nous ne savons donc presque rien ; cependant, combien d'écrits dont les auteurs ont tous prétendu savoir quelque chose ! Je ne devine pas pourquoi le monde ne s'ennuie point de lire et de ne rien apprendre, à moins que ce ne soit par la même raison qu'il y a deux heures que j'ai l'honneur de vous entretenir, sans m'ennuyer et sans vous rien dire. » (Lettre sur les aveugles à l'usage de ceux qui voient, 1749). Theon (discuter) 22 juillet 2020 à 14:02 (CEST)