Discussion:Produit eulérien

L'évaluation est l'oeuvre d'un des principaux contributeurs, en conséquence manque d'objectivité. Jean-Luc W (d) 23 juin 2008 à 12:05 (CEST)

Remarque de Baudalbert

Pour le rédacteur de l'article

Produit eulérien : démonstration du Calcul d'Euler

L'inégalité (2) est incorrecte: elle majore une somme de valeurs absolues de 1/n^s c'est-à-dire qu'elle fait usage de l'inégalité triangulaire à contre-sens.Le passage à la limite pour l infini est licite puisqu'on sait que le terme de droite converge,mais l'inégalité telle qu'elle est écrite est incorrecte. Baudalbert2 le 29.11.07

Preuve de la somme des inverses des nombres premiers

Je ne suis pas d'accord avec l'égalité $\sup _{s>1}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\sum _{n=1}^{\infty }\sup _{s>1}{\frac {1}{n^{s}}}$ au début de la preuve, ni bien sûr avec une égalité similaire à tout à la fin.

- Tout ce qu'on peut dire, c'est $\sum _{n=1}^{\infty }\sup _{s>1}{\frac {1}{n^{s}}}\geqslant \sup _{s>1}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$.

- Si on veut montrer que $\sup _{s>1}\zeta (s)=+\infty$, il suffit de remarquer que $\zeta$ est une fonction décroissante sur $]1,+\infty [$ (car c'est une somme de fonctions décroissantes), donc $\sup _{s>1}\zeta (s)=+\infty =\lim _{s\to 1^{+}}\zeta (s)$. Cette dernière limite est facile à trouver. En effet, pour tout $s>1$ et tout $N\in \mathbb {N} ^{*}$, $\zeta (s)\geqslant \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n^{s}}}$, donc $\lim _{s\to 1^{+}}\zeta (s)\geqslant \sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}$. En faisant tendre N vers l'infini, on trouve le résultat (car la série harmonique diverge).

- Pour la dernière ligne de la preuve, il suffit de mettre un $\geqslant$ au lieu du malheureux =, et le résultat reste inchangé.

--Vincemaths (discuter) 15 mai 2015 à 18:39 (CEST)

Cette égalité est pourtant démontrée, par une explication et un lien. Avec quel point précis de cette démonstration n'êtes vous « pas d'accord » ? Anne 19h53