Discussion:Pseudovecteur

Petite remarque

En mathématiques, un pseudovecteur, c'est à dire une application bilinéaire est un vecteur. La structure d'espace vectoriel ne comporte que la définition de l'addition et de la multiplication externe. Qu'il existe une application bilinéaire d'image l'espace vectoriel des pseudovecteurs ne change rien à l'affaire, tout espace vectoriel E est l'image de l'application bilinéaire b, qui à un couple (λ, x) composé d'un réel et d'un vecteur associe b(λ , x) = λ.x vérifie b(λ , x) = b(-λ , -x) et cela n'a rien d'absurde. Jean-Luc W (d) 22 janvier 2008

Pas tout à fait d'accord. Un pseudovecteur peut être défini comme un couple $(v,\sigma )$ avec v un vecteur d'un espace euclidien et $\sigma$ valant $\pm 1$. Il y a une loi de transformation : si $A$ est une transformation orthogonale, l'image de $(v,\sigma )$ par A est $(Av,\det(A)\sigma )$. Donc si on voulait être tout à fait honnête, il faudrait parler d'un machin qui s'appelle "densité" et qui se trouve dans les bons livres de calcul extérieur. Je vais en parler dans mon article sur les champs, que je suis en train d'écrire, ça ne fera pas de mal à cet endroit-là. Je4 pense que ça doit être formalisé quelque part, mais je ne sais pas bien où... je vais me plonger dans mes grimoires. --Sylvie Martin (d) 17 mars 2008

Les pseudovecteurs forment bien mathématiquement un espace vectoriel. (3 différents pour être exact). Mais cet espace vectoriel est différent de celui qu'on utilise pour les vecteurs en physique. On peut d'ailleurs former une base canonique de l'espace des pseudovecteurs en prenant le produit vectoriel deux à deux des vecteurs de l'espace vectoriel de départ. C'est à dire qu'on forme l'espace des pseudovecteurs sur un espace vectoriel préexistant. Ce qui est absurde, c'est d'assimiler ces deux espaces vectoriels. (qui sont en fait 4 pour être exacts).
La définition de Sylvie Martin ne paraît valable qu'en repère orthogonal. C'est à dire que cette définition ne permet de former l'espace vectoriel des pseudovecteurs que sur un espace vectoriel où les vecteurs de base sont orthogonaux. En plus cette définition ignore les 3 variances différentes que l'on rencontre en physique.-- Cfu 5 Avril 2008 — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 86.216.0.180 (discuter), le 5 avril 2008.

Attendez, ça sent le délire total, dès le début de l'article. Je prend f une application bilinéaire linéaire sur un espace vectoriel de dimension 2. Alors j'ai toujours f(u, v) = f(-u, -v) ; ça n'empèche en rien que l'image de mon espace soit encore un espace vectoriel, bien au contraire... Et ça ne me donne pas des pseudo vecteurs pour autant. Dès lors, quelle est cette histoire de produit vectoriel??? — Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 81.220.138.118 (discuter), le 24 mai 2010.

Les "pseudo-vecteurs" qu'on utilise souvent en physique correspondent simplement à la construction suivante. On a un espace Vectoriel E (ici R^3). Il lui est associé un espace dual E^*, celui des formes lineaires. En pronant des produit tensoriels successifs (et en antisymetrisant), on obtient les espaces de formes k-linaires suivants (espaces d'applications multilineaires alternées):

• Λ₀ : L'espace des 0-formes (comme des scalaires) => dimension 1
• Λ₁ = E^* : L'espace des 1-formes (les formes linéaires)=> Dim= n (n= dim(E))
• Λ₂ : L'espace des 2-formes (les formes bilienaires antisymetriques) => dim = n.(n-1)/2
• etc...
• Λ_n-1 : L'espace des n-1 -formes => dim =n
• Λ_n : L'espace des n-formes (les volumes) => dim=1

Par ailleurs, si l'espace vectoriel E est muni d'un produit scalaire ( ce qui est le cas de R^3 avec la metrique euclidienne), on peut identifier (voir Opérateur de Hodge et en:Hodge star operator):

• E avec E^* d'une part
• et Λ_k avec Λ_n-k

En combinant les 2, on obtient un isomorphisme entre E et Λ_n-1

Dans le cas particulier de la dimension 3, on a donc un isomorphisme entre E et Λ₂.

Il se trouve que le "pseudo-vecteur" de rotation est en fait une 2-forme, donc un element de Λ₂. C'est le cas aussi pour les autres "pseudo-vecteurs" de la physique comme, le champs magnetique par exemple. L'identification E<->Λ₂ dépend en particulier du choix d'une orientation de l'espace vectoriel, et c'Est pour cela qu'apparaisse des "pseudo-problemes" d'invariance lorsqu'on effectue une operation de symmetrie par rapport à un plan orthogonal au pseudo-vecteur. Si c'était un vecteur, on s'attendrait à ce qu'il subisse aussi l'operation de symetrie, mais ce n'est pas le cas. La raison, est que le "véritable" objet est en fait une 2-forme, qu'on essaie de représenter par un vecteur (le pseudo-vecteur), via cette identification. Mais comme cette identification dépend de certains choix (qui eux ne sont pas invariants par les symetries), alors le "vecteur" a un comportement bizarre sous cette symetrie. PAr contre, le vrai objet (la 2-forme) lui est invariant. Nicolas Roy, 18 octobre 2011

bivecteur

Dans l'algèbre géométrique de Clifford et Grassmann, ranimée par D. Hestenes, les bivecteurs sont des objets simples qui remplacent très avantageusement les monstrueux "vecteurs" axiaux. Un lien vers une page introduisant les bivecteurs, par exemple :

Algèbre géométrique (structure)

serait bienvenu, ne serait-ce que pour donner une chance aux générations futures de ne pas perpétuer les errements passés.

— Le message qui précède, non signé, a été déposé par un utilisateur sous l’IP 193.57.67.241 (discuter), le 28 février 2014.

Modification du résumé

Justification de la modification de certaines phrases du résumé. Le nouveau résumé mettant certaines parties de l'article en porte à faux, je me propose de rendre l'ensemble cohérent en tenant compte des commentaires apportés dans cette page de discussion.

« C'est un objet mathématique qui se comporte de la même manière qu'un vecteur pour une rotation directe (conservant les angles orientés) mais différemment lors d'une isométrie indirecte, comme une symétrie par rapport à un point ou par rapport à un plan. »

• "C'est un objet mathématique": on vient de dire que c'est un vecteur. Donc on remplace par "C'est un vecteur".
• "qui se comporte" : quand un vecteur se contente de subir une transformation, il n'y a pas lieu de distinguer la forme passive ("le vecteur est transformé") de la forme active ("le vecteur se transforme"). Ici ce n'est pas le cas. La forme active laisse entendre que le vecteur a une certaine autonomie et qu'il peut "choisir" la transformation qui va le transformer. Un vecteur n'a bien sûr pas cette possibilité: c'est le physicien qui choisit la transformation à appliquer à un vecteur (qu'il soit polaire ou axial) de façon à ce que le résultat mathématique soit conforme à l'expérience physique.

« La symétrie par rapport à l'origine d'une base orthonormale se traduit par un changement de signe des coordonnées du pseudovecteur. On parle de pseudovecteurs par opposition aux vecteurs dits vrais ou polaires, qui sont invariants par une telle inversion. »

Ou est "l'opposition" ? Lors de cette transformation passive, si les coordonnées changent de signe c'est que le pseudovecteur est invariant (comme tout bon vecteur qui se respecte).

« La raison en est qu'un pseudovecteur, même s'il possède comme un vecteur trois composantes liées au système de coordonnées choisi, n'est pas réellement un vecteur, mais un objet mathématique appelé forme différentielle de degré 2 (ou 2-forme), que l'on peut représenter par une matrice antisymétrique de trois lignes et trois colonnes, possédant donc seulement trois composantes indépendantes. »

Ce serait exact si "pseudovecteur" avait la même signification qu'en mathématiques (voir Pseudo-vecteur (mathématiques)). Ce n'est pas le cas ici où "pseudovecteur" signifie "vecteur axial" (comme par exemple le produit vectoriel). Un bivecteur et son vecteur dual sont des éléments d'espaces vectoriels distincts n'obéissant pas aux mêmes lois de transformation. Ils ne peuvent donc pas être confondus et un vecteur axial ne saurait être les deux à la fois. Par exemple, Landau (Théorie du champ) fait bien la distinction entre un tenseur antisymétrique et son vecteur dual. Ainsi (§6, p.28): « Un vecteur axial est un pseudo-vecteur, dual d'un certain tenseur antisymétrique ». Plus loin (§23 p.79: « les composantes du champ magnétique H forment un tenseur tridimensionnel antisymétrique du second ordre. Cela signifie, comme l'on sait, que le vecteur H est un vecteur axial (cf. §6) ».--KharanteDeux (discuter) 30 septembre 2021 à 18:56 (CEST)

Refonte du corp de l'article

Comme annoncé ci-dessus, une mise en cohérence avec le résumé a été effectuée. Cela a donné lieu à une refonte complète de l'article, en conservant tout ce qui était possible (par exemple, la représentation matricielle est plus à sa place dans l'article Pseudo-vecteur (mathématiques)). --KharanteDeux (discuter) 28 octobre 2021 à 14:26 (CEST)