Discussion:Quaternions et rotation dans l'espace
Relecture
modifierGlobalement, l'article est agréable à lire et a du contenu. L'apposition quaternions/rotation dans le titre de l'article est discutable (je vais y revenir à la fin de mes commentaires). Cependant, l'article met insuffisamment en avant la théorie de groupes, voire passe à côté de points qui me semblent essentiels. Je fais ici une lecture critique, et ne relève pas les points positifs, néanmoins nombreux.
L'ensemble des quaternions unitaires (= quaternions de norme 1) est simplement la sphère de dimension 3. C'est un groupe, et même un groupe de Lie. Fait remarquable, les seules sphères à être des groupes de Lie sont S1 (cercle) et S3 (quaternions unitaires). Leurs structures de groupes sont respectivement liées aux corps normés C et H. Ce point est ici important, car la "paramétrisation" des rotations de l'espace par les quaternions est justement la description ni plus ni moins du revêtement universel du groupe des rotations. Basiquement, on associe à un quaternion q une rotation A(q). La flèche A est un morphisme de groupes, et en fait un revêtement à deux feuillets de S3 sur SO(3). La sphère S3 est un groupe de Lie et le revêtement universel de SO(3). On peut aussi remarquer que S3 est un groupe de Lie simple (comme SO(3)), et apparait dans la série B des groupes de Lie simples.
Aussi, on peut remarquer que l'action A(q) par conjugaison d'un quaternion pur q est un opérateur unitaire (préserve la norme), et donc est une isométrie de R3. Par ailleurs, comme S3 est connexe par arcs, on peut passer de l'identé à A(q) par un chemin continu, et donc A(q) est de déterminant 1. Avant même de se lancer dans les calculs, on sait déjà que A(q) est une rotation. L'intérêt de la formule de Olinde Rodrigues est plus de comprendre concrètement la correspondance entre rotations et quaternions. Je trouve que l'article passe à côté de ça.
Noter aussi que l'espace tangent en 1 de S3 est exactement l'espace des quaternions purs. A(q) correspond, dans la théorie des groupes de Lie, à l'adjoint de q sur l'algèbre de Lie de S3. Un peu pédant, certes. Mais cela explique assez bien pourquoi 1) le produit vectoriel surgit (en apparence miraculeusement) des lois des quaternions, et 2) pourquoi les matrices antisymétriques se paramètrent par R3 de sorte que le crochet de Lie soit le produit vectoriel. L'exemple qui suit la formule de Rodrigues est le bienvenu. Par contre, je ne vois pas l'utilité du paragraphe Les calculs de quaternions en pratique.
Dans le paragraphe Expliquer les propriétés des quaternions à l'aide des rotations, on peut mentionner que le groupe fondamental de SO(3) est Z/2Z (le revêtement universel est un revêtement à deux feuillets). La topologie de S3 est simple, et permet de comprendre la topologie de SO(3). On peut mentionner l'exemple du serveur qui fait tourner son plateau deux fois autour de son bras pour comprendre (cet exemple est très connu, et pas trop difficile à référencer, pour satisfaire les adeptes de la sourcite).
Les quaternions et les autres représentations des rotations -- Ici, le mot représentation est certainement mal choisi, car les représentations peuvent avoir une autre signification (représentations de l'algèbre de Lie R3, qui sont connues). Plutôt dire écriture d'une rotation par exemple. Quid SU(2) ?
Noter aussi que la "mémoire" pour une rotation n'est pas 9 mais au plus 6. (Les colonnes de la matrice forment une base orthonormée directe, le troisième s'obtient donc comme produit vectoriel des deux premiers.)
J'en reviens au titre, traduction du titre anglais. Je propose de renommer l'article en Sphère de dimension 3 et de le catégoriseer dans Catégorie:groupe de Lie. Pourquoi ? Tout d'abord, le titre actuel n'est pas directement accessible (l'accès passera nécessairement par d'autres articles comme quaternion, rotation ou groupe de Lie). Un article sur la sphère de dimension 3 me semble nécessaire. Certainement, un titre Sphère de dimension 3 est plus directement accessible (probabilité non nuille que quelqu'un le tape un jour dans la boîte Rechercher). Bien sûr, rien n'interdit de le créer à côté, mais ce sera inévitablement un doublon. Si nécessaire (= si forte opposition), j'argumenterai bien volontiers d'avantage.
Nefbor Udofix - Poukram! qui a relu l'article le 2 juin 2009 à 16:03 (CEST)~
- Bonjour, et merci pour cette relecture critique.
- Tout d'abord, je plaide non coupable pour les manques éventuels de l'article. Je ne suis intervenu qu'en tant que traducteur, ajoutant de-ci de-là un schéma, un peu de rigueur, un peu d'ordre, mais ne touchant pas trop au fond. En particulier, les travaux de Lie ne me sont pas familiers et j'aurais eu du mal à ajouter de la matière de ce côté-là.
- L'opposition matrice - quaternion fait un peu "militant", je l'accorde. En même temps, je suis persuadé que pas mal de lecteurs lisent avec profit la comparaison quantitative des deux représentations des rotations. En effet, l'informatique s'est démocratisée et pas mal de gens se retrouvent avec des problèmes très pratiques d'implémentation. Ce passage peut leur être d'une aide très précieuse.
- Euh... L'ensemble des rotations, c'est la sphère de dimension 4 ! (au double revêtement près). Sur le coup de "l'ensemble des rotations EST la sphère de dimensions 3" je ne te suis pas du tout... Pareil pour les quaternions unitaires, ils forment une sphère de dimension 4.
- Ça me fait rire que tu proposes une autre démonstration du fait que l'action par conjugaison fait tourner un vecteur. En effet, si tu regardes la page de discussion de l'article anglais, tu verras que j'ai proposé une démonstration très proche de la tienne, sans intervention de la continuité toutefois, mais avec la même "élégance", toute modestie mise de côté. En gros ça disait : la conjugaison est une application linéaire, c'est aussi une isométrie, le sous-ensemble invariant est une droite vectorielle. En dimensions 3, les seules applications linéaires qui préservent la distance et laissent un axe inchangé sont des rotations. On n'a pas pris ma démonstration dans la page anglaise toutefois, car d'une part l'étape finale n'utilise pas un résultat "classique", et d'autre part parce que la démonstration qui était déjà en place ne manque pas de mérites : elle fait un lien vers la formule d'Olinde Rodriguez et elle montre pourquoi il faut utiliser le demi-angle et pas l'angle complet.
- C'est moi qui ai ajouté "les calculs de quaternions en pratique". La motivation provient de l'exemple qui précède qui disait "eh ben, là on fait plein de calculs algébriques avec les règles de base des quaternions, et on trouve ça". Si ça peut être satisfaisant pour quelqu'un qui connaît déjà bien le sujet comme toi, je trouve que ça peut être très frustrant pour un amateur ou un novice qui découvre cet univers. Donner les produits de 1, i, j et k ne me semble pas suffire. Les tours de passe-passe consistant à sauter des étapes et à demander au lecteur de faire confiance peuvent laisser un goût amer, donner l'impression d'un magicien qui sort un lapin de son chapeau, surtout qu'à la base, le texte ne démontre pas grand-chose et demande d'accepter plein de résultats. Descendre au niveau du calcul peut être instructif pour montrer comment ça se passe, et comment en fait ça serait implémenté dans un programme informatique. De manière plus générale, je trouve que nos articles de maths ne doivent pas faire plaisir à d'autres mathématiciens, mais aider le grand public à progresser en maths, de façon adaptée à chacun.
- Le mot "représentation" a un sens dans la vie courante et il me semble très indiqué ici pour dire qu'on a plein d'approches numériques différentes (les nombreux angles d'Euler, les matrices, les quaternions, l'axe-angle) pour représenter les mêmes rotations qui sont à la base des êtres géométriques et non numériques. Qu'il y ait une collision avec un terme des théories de Lie me désole (même si j'ignorais totalement que ce terme avait un sens précis dans cette théorie), mais ne me semble pas suffisant pour abandonner ce terme. En particulier, il y a tout un article anglais intitulé "Rotation representation" qui sera peut-être traduit un jour, et qui prendra à ce moment sans doute très naturellement le titre "Représentations des rotations".
- Le titre "sphère de dimension 3" me semble faux pour un article qui prend l'approche "sphère de dimension 4". Qui plus est, le thème central est les quaternions, ce mot doit apparaître dans le titre. Enfin, on ne considère que les quaternions unitaires, ceux justement qui représentent les rotations. Le titre actuel me semble donc convenir parfaitement au contenu. Je suis d'accord que l'approche "Lie" manque sans doute (et même cruellement), mais ce n'est pas là le sujet central de l'article.
- Pour l'encombrement mémoire d'une matrice de rotation, tu as raison... Sauf qu'en pratique on stockera 9 nombres pour s'épargner les calculs à chaque fois qu'on a besoin de la matrice. De toute façon, en poussant ton raisonnement à son extrême, son encombrement n'est que de 4, puisque l'on peut la convertir en quaternion
.
- Je crois que cet article réussit le prodige d'expliquer de façon intuitive à un public débutant l'hypersphère (dimension 4) des rotations et le double revêtement, sans recourir à l'arsenal de Lie. Je dis "prodige" car l'intuition en dimension 4, c'est pas gagné... L'article anglais propose un lien vers la paramétrisation de SO(3) à la fin, sous le nom "maps on SO(3)". Peut-être pourrions-nous ajouter un tel renvoi, vers une page qui contiendrait la matière qui te semble manquer ? Par exemple vers Groupe de Lie. Cela éviterait le contenu en double. Si ce n'est pas le cas, je proposes que tu ajoutes (ou que nous ajoutions, si t'aimes écrire à 4 mains), cette matière à l'article anglais, puis qu'on retraduise ça en français.
- Il y aurait aussi la solution d'expliquer la relation quaternions - groupe de Lie dans un article séparé. Mais ça me semble une mauvaise idée, ce que tu racontes plus haut s'intègre trop bien à l'article existant (sauf que c'est beaucoup plus abstrait que le reste de l'article). Donc, à ce point, je voterais pour intégrer tes remarques sur le "pourquoi" en bas de l'article anglais ou vers son milieu, puis de retraduire.
- De toute façon, je comptais me plonger dans les théories de Lie, j'en ai besoin pour un autre article en cours, Matrice de rotation. Et puis ça a l'air sympa, en tout cas tu m'as donné envie de m'y intéresser. MathsPoetry (d) 2 juin 2009 à 19:38 (CEST)
- Pour commencer, je n'ai fait aucune erreur. Il s'agit bien de la dimension 3. On peut le voir de plusieurs façons:
- Les quaternions forment un espace euclidien H de dimension 4 mais, l'ensemble des quaternions unitaires (= de norme 1) est simplement la sphère unité de cet espace euclidien. C'est donc une sphère de dimension 3. Le groupe des quaternions, et le groupe des quaternions sont tous deux de dimension 3. Plus précisément, un quaternion q s'écrit bien avec quatre coordonnées a b c et d. Mais s'il est unitaire, alors la quatrième coordonnée s'en déduit des précédentes au signe près: .
- Pour les rotations, l'axe de rotation peut varier dans les deux directions transverses (deux dimensions), et l'angle de rotation peut aussi varier (troisième dimension). Le groupe des rotations est donc intuitivement de dimension 3 (même si on ne connait pas vraiment la notion de dimension, on voit pourquoi on a envie de penser SO(3) comme un objet à trois dimensions.)
- Encore autre façon de voir les choses, une rotation R de R3 est uniquement déterminée par deux vecteurs unitaires orthogonaux u et v (R envoie (1,0,0) sur u et (0,1,0) sur v). Le premier vecteur u varie sur la sphère unité de R2 (deux dimensions), et une fois u fixée, le vecteur v varie sur un cercle (troisième dimension). Ici, on a décrit les rotations comme le fibré unitaire de la sphère S2 (vecteurs unitaires de R3 + vecteur unitaire orthogonal). Cette description est aussi fort utile.
- Enfin, une rotation peut être écrite sous forme de matrices. Il y a 9 coefficients, mais on doit écrire 6 équations (), donc, objet de dimension 3. (Bon, en fait il faudrait vérifier que l'identité est une valeur régulière de l'application différentiable et appliquer le théorème des fonctions implicites.)
- Pour toutes ces raisons (une seule aurait suffi), SO(3) est de dimension 3. (miam miam)
- Pour commencer, je n'ai fait aucune erreur. Il s'agit bien de la dimension 3. On peut le voir de plusieurs façons:
- La symétrie orthogonale par rapport à un plan P est une isométrie qui préserve un axe, en fait n'importe quel axe contenu dans le plan P. Donc, il existe des isométries de R3 qui préservent une droite, mais qui ne sont pas des rotations. L'argument que tu as donné dans la page de discussion de l'article anglophone ne me semble donc pas correct. J'ai répondu là-bas. Note que je ne suis pas non plus en accord avec l'autre interlocuteur. Affirmer qu'un rationnel ne serait pas un réel relève de la pure folie bourbakiste (à bas Bourbaki! à bas Bourbaki ! à bas Bourbaki !)
- La symétrie orthogonale par rapport à un plan P est une isométrie qui préserve un axe, en fait n'importe quel axe contenu dans le plan P. Donc, il existe des isométries de R3 qui préservent une droite, mais qui ne sont pas des rotations. L'argument que tu as donné dans la page de discussion de l'article anglophone ne me semble donc pas correct. J'ai répondu là-bas. Note que je ne suis pas non plus en accord avec l'autre interlocuteur. Affirmer qu'un rationnel ne serait pas un réel relève de la pure folie bourbakiste (à bas Bourbaki! à bas Bourbaki ! à bas Bourbaki !)
- Je me suis mal exprimé. Développer des calculs peut être utile au lecteur. Mais il ne faut pas que cela alourdisse l'article. Au lieu de dire bêtement Par contre, je ne vois pas l'utilité du paragraphe Les calculs de quaternions en pratique, j'aurais dû dire: Je trouve que ce paragraphe alourdit l'article sans pour autant apporter un plus à son contenu. Mais c'est un avis purement personnel.
Il est certain qu'il n'est pas totalement évident de se représenter un espace de dimension 4... L'écriture des rotations par les quaternions montre l'utilité de la dimension 4. (En particulier, SO(3) ne se plonge évidemment pas dans R3.) Il est surtout difficile de convaincre quelqu'un que le recours à la dimension supérieure est nécessaire.
- Les applications à l'informatique me semblent intéressantes mais à développer (mais peu de connaissance de ma part). Cerner le public visé est difficile. Pour moi, le public de WP est un public adulte, et qui est capable de lire et de digérer des textes longs. Le lecteur serait probablement un étudiant ou un adulte ayant peu de connaissances en mathématiques. Mais dans aucune présentation, on ne peut partir de rien. Nefbor Udofix - Poukram! 2 juin 2009 à 21:57 (CEST)
- Bon, on s'est effectivement mal compris alors. Prenons la sphère "ordinaire" qui baigne dans un espace de dimension 3, c'est une surface, donc de dimension 2. On est bien d'accord, l'incompréhension résidait dans le vocabulaire. Quand je parle d'un ballon de plage comme d'un être en trois dimensions, je fais référence à l'espace contenant. La fourmi qui se ballade sur ce même ballon de plage (l'espace contenu) le voit comme une surface, donc de dimension 2
. Ah, la traîtrise des mots... N'empêche, si tu parles de "la sphère de dimension 2", la plupart des lecteurs non avertis risquent de ne pas comprendre qu'en fait tu parles de la sphère flottant dans un espace de dimension 3... Encore une raison de plus pour ne pas mettre "la sphère de dimension 3" dans le titre.
- Les symétries orthogonales par rapport à un plan préservent tout le plan, pas seulement un axe. On peut prouver qu'un vecteur est préservé par conjugaison si et seulement si il est sur une certaine droite vectorielle. Mauvais contre-exemple, same player shoot again
. OK, j'ai pas été franchement clair sur ce détail. Désolé.
- J'ai la plus grande admiration pour le collectif Bourbaki
. Et sur ce point, je suis d'accord avec mon contradicteur anglophone... Non, un rationnel n'est pas un cas particulier de réel, même si cette affirmation se trouve dans tous les bouquins de niveau collège... La vérité est qu'il y a une injection canonique, et que celle-ci permet le tour de passe-passe qui permet de voir Q comme un sous-ensemble de R, même si en fait ce n'est pas vrai. Si l'on construit R avec les suites de Cauchy, un réel est (retenez votre respiration pendant que vous le dites) une classe d'équivalence de suites de Cauchy de rationnels. Cela fait que les réels sont des êtres de nature super différente des rationnels. Mais je suis d'accord, c'est du pinaillage rigoriste, et moi aussi, je considère Q comme un sous-ensemble de R dans la majorité des cas. Sauf que je sais que c'est seulement un raccourci commode.
- Très franchement, tu as raison, mon exemple de calculs avec les quaternions alourdit à fond l'article. J'ai beaucoup hésité avant de le mettre. En même temps, voir l'exemple précédent donner un résultat sans le démontrer me semblait très inconséquent, tous les lecteurs n'étant pas capable de refaire les calculs sur une feuille de papier.
- Je suis venu aux quaternions... par l'informatique. Là ça va, je vois très bien les problèmes pratiques pour les différentes représentations : axe-angle, matrices, angles d'euler, quaternions. À mon avis, on se complète, tu dois avoir plus de background abstrait (algèbre linéaire+topologie) sur la question que moi.
- Bon, revenons à nos moutons. Il y a effectivement un gros trou du côté "groupes de Lie". On fait quoi ? MathsPoetry (d) 3 juin 2009 à 21:57 (CEST)
- Bon, on s'est effectivement mal compris alors. Prenons la sphère "ordinaire" qui baigne dans un espace de dimension 3, c'est une surface, donc de dimension 2. On est bien d'accord, l'incompréhension résidait dans le vocabulaire. Quand je parle d'un ballon de plage comme d'un être en trois dimensions, je fais référence à l'espace contenant. La fourmi qui se ballade sur ce même ballon de plage (l'espace contenu) le voit comme une surface, donc de dimension 2
- Poukram, il n'y a pas qu'une seule et unique façon de construire le corps des réels à partir du corps des rationnels. La complétion par suites de Cauchy est une méthode de définir les nombres réels parmi tant d'autres ; mais ce n'est pas ma préférée. D'autres possibilités existent. Les coupures de Dedekind sont (par chance pour toi) présentées dans l'article Construction des nombres réels. Une troisième possibilité est d'utiliser des segments emboîtés de rationnels, moins connus. Un nombre réel est une classe d'équivalence de suites décroissantes de segments de rationnels dont la longueur tend vers 0, modulo raffinements près.
- Mais le mieux est encore de suivre David Hilbert (1899). Le corps R est l'unique corps totalement ordonné complet à unique isomorphisme de corps totalement ordonné près. Et je ne connais pas de meilleure définition. Ici la complétude peut se traduire: toute partie bornée supérieurement admet une borne supérieure. Compare avec la définition des entiers naturels
Poukram, un rationnel est un réel. C'est un fait de la nature: il existe un unique morphisme de corps ordonné Q->R. Il n'y a aucune ambiguité. Tout comment tout corps fini Fp s'injecte comme corps premier dans un corps de caractéristique p.
- Hum ... Les mathématiciens ayant constitués le groupe Bourbaki sont des gens très biens. Mais je suis contre l'esprit bourbakiste. Un rationnel est un réel. C'est une évidence, qu'on apprend dès le collège il me semble.
- En géométrie s'est posé autour de 1900 l'opposition intrinsèque/extrinsèque. Par exemple, quand on étudie une surface, faut-il la voir comme une surface plongée dans R3 ou comme un objet géométrique de dimension 2 à part entière qui vit sa propre vie ? Le deuxième point de vue est bien meilleur. L'espace des droites affines de R3 est une "variété" de dimension 4. Comme la plonger dans un espace vectoriel ? Pas difficile, mais que gagnerait-on à le faire ? Les seules surfaces compactes plongées dans R3 sont les surfaces compactes orientables, classées à homéomorphisme près par leur gendre (la sphère, genre 0 ; le tore, genre 1 ; etc ... genre n ; etc ...). Mais on oublie alors toutes les surfaces compactes non orientables, à commencer la plan projectif réel (espace des droites vectorielles de R3, vues aussi comme quotient de la sphère unité de R3 par l'antipodie x->-x).
- Sphère de dimension 3 : la dimension désigne la dimension intrinsèque de l'objet géométrique la sphère. Pas ce qui se passe autour. On peut par exemple obtenir la sphère comme R3 auquel on ajoute un point à l'infini (le pole Nord).
- Pardon pour l'isométrie: tu avais affirmer que l'espace invariant est une droite, et non qu'il existe une droite invariante. Ce qui ne revient effectivement pas aui même
C'est rigolo le français.
- On fait quoi maintenant ? Un avis complémentaire ne serait pas de trop.
Mon background est plutôt la géométrie, l'analyse, et un peu d'algèbre. A bas Bourbaki ! (Poukram, je l'ai dit combien de fois ?) Nefbor Udofix - Poukram! 3 juin 2009 à 23:17 (CEST)
- Je sais bien qu'il n'y a pas qu'une seule manière de construire les réels, j'ai pris les suites de Cauchy comme exemple. Et on dit "le complétement", avec un accent aigu, action de compléter, "completion" c'est de l'anglais.
- Je te laisse réfléchir à la différence entre "morphisme" et "identité"
. Assimiler des ensembles isomorphes est un raccourci de l'esprit commode, cela ne les rend pas égaux pour autant.
- Le fait qu'un rationnel soit un réel est une évidence tant qu'on est au collège. Après, on nuance un peu le sens du verbe "est", et on se méfie des "évidences"
. Je vais sortir un gros cliché, mais pendant longtemps on a dit que le cinquième postulat d'Euclide n'était pas nécessaire car "évident". Un autre exemple, et c'est moins un cliché : il n'est pas évident du tout qu'on a besoin de recourir à l'axiome du choix quand on se préoccupe de trouver une base dans un espace vectoriel de dimension infinie. On peut faire comme on veut, mais une classe d'équivalence de segments emboîtés ne sera jamais un être de même nature que les bords de ces mêmes segments (et tu remarqueras au passage que j'ai changé de définition des réels pour te contenter).
- Je suis à 100 % d'accord que c'est du pinaillage. Mais c'est le même pinaillage qui fait qu'en langage LISP, (a) n'est pas égal à a. Avoir à l'esprit une certaine dose de pinaillage aide au moins à écrire des programmes informatiques qui marchent, car les ordinateurs seront toujours plus pinailleurs que le pire des bourbakistes
.
- Autant il est facile de voir un plan de façon intrinsèque, autant il est difficile, à mon avis, pour un lecteur non mathématicien de voir un ballon de plage autrement que de façon extrinsèque, donc flottant dans un espace de dimension 3. Sans doute parce qu'il y a de la courbure...
- Pour la suite des opérations, à mon avis, il faut voir si on peut ajouter les histoires de groupe de Lie à l'article anglais sans s'éloigner trop du sujet (quaternions et rotations en 3D) autant dans le ton que dans le niveau. Sinon, on risque l'effet "cheveu sur la soupe". Opinion toute personnelle, hein.
- Pour ce qui est de l'avis "extérieur" sur le lien avec les groupes de Lie : on en aura sûrement un si on propose tes changements sur la page de discussion de l'article anglais. Qu'en penses-tu ? MathsPoetry (d) 6 juin 2009 à 20:27 (CEST)
Non orientation
modifierSans vouloir déclencher une polémique : OK, les quaternions, tout comme les matrices de rotation, ne sont pas orientés. Mais la décomposition à l'aide du produit vectoriel fait intervenir ce produit qui, lui, a le malheur de faire intervenir l'orientation dans sa définition (sous l'influence de la Physique probablement, je ne sais pas, je ne connais pas l'historique). Sans jouer à Cassandre, je pense qu'il y a tout un bout de l'article qui devient faux si on a le malheur de travailler dans une base rétrograde. Des signes '-' doivent apparaître un peu partout...
(OK, personne de sensé n'aurait l'idée de placer les quaternions de base i, j, et k autrement que selon la règle de la main droite... mais les maths ne sont-elles pas la science de l'ouverture d'esprit ?)
Je trouve cette constatation tellement déprimante que je n'ai même pas eu le courage de la mettre dans la page de discussion de l'article original en anglais. MathsPoetry (d) 2 juin 2009 à 19:27 (CEST)
- L'ensemble des quaternions H est un espace vectoriel euclidien de dimension 4. L'espace E des quaternions purs est de dimension 3. Un produit vectoriel sur E peut se définir à l'aide des quaternions. Par conséquent, E est naturellement orienté. Son orthogonal est R, qui est aussi naturellement orienté. Donc, oui, les quaternions sont naturellement orientés !
- Du même esprit: Tout espace vectoriel complexe V est un espace vectoriel réel naturellement orienté. Si est une base de V comme espace vectoriel complexe, alors est une base de V comme espace vectoriel réel. L'orientation définie est indépendante de la base complexe choisie. Comme H est un C-espace vectoriel, il est naturellement orienté.
- C'est un point important en géométrie complexe. Ce n'est pas un constat déprimant.
Peace and Love Nefbor Udofix - Poukram! 2 juin 2009 à 21:57 (CEST)
- Euh, attends. Je n'ai peut être pas été très clair, désolé. Je parle en fait des opérations d'action par conjugaison et de multiplication, pas des quaternions en eux-même.
- Quand j'ai une matrice de rotation (mettons en dimension 2 pour simplifier, ), cette matrice va faire tourner le vecteur de base i vers j et j vers -i. Si i va vers la droite et j vers le haut (l'orientation usuelle des maths et de la physique), cette rotation se fera dans le sens contraire des aiguilles d'une montre, mais si on prend i vers la droite et j vers le bas, comme c'est courant en infographie, cette rotation se fera en sens des aiguilles d'une montre. C'est tout simplement que l'opération "multiplier une matrice par un vecteur colonne" ignore completement l'orientation de l'espace. Elle va faire tourner le vecteur de base i vers j et j vers -i, même dans une base rétrograde.
- Il en va de même pour la multiplication entre quaternions. Les opérations de multiplication entre i, j et k donneront toujours les mêmes résultats. Si i va vers l'avant, j vers la droite et k vers le haut (orientation conventionnelle classique), on les interprète avec des rotations qui se font toutes selon la règle de la main droite. En revanche, si ces trois vecteurs ne sont plus disposés ainsi, ce ne sera plus le cas. Ici aussi, l'opération "multiplication" est définie indépendamment de l'orientation de l'espace, les résultats algébriques seront les mêmes quelle que soit la base de travail choisie, l'interprétation dans l'espace "de tous les jours" pourra en revanche être radicalement différente.
- Ce n'est pas le cas avec le produit vectoriel. Je ne sais pas trop comment ça s'est fait historiquement, mais la définition insiste sur le fait que u ^ v est calculé selon la régle de la main droite. De telle sorte que si l'on travaille dans une base rétrograde, les formules algébriques ne sont plus les mêmes ! En revanche, cette fois, l'interprétation géométrique est solide comme le roc : main droite quoi qu'il en coûte...
- Cela fait même dire à l'article anglais que le produit vectoriel de deux vecteurs n'est pas un vecteur, mais un ... "pseudo-vecteur". En effet, sinon, on aurait une définition qui marcherait dans certaines bases et pas dans d'autres. Un être fort nébuleux d'un point de vue mathématique, je te l'accorde... Enfin, du moins moi je ne connaissais pas. Je cite l'article anglais:
- The cross product is only defined in three or seven dimensions. Like the dot product, it depends on the metric of Euclidean space. Unlike the dot product, it also depends on the choice of orientation or "handedness". Certain features of the cross product can be generalized to other situations. For arbitrary choices of orientation, the cross product must be regarded not as a vector, but as a pseudovector. For arbitrary choices of metric, and in arbitrary dimensions, the cross product can be generalized by the exterior product of vectors, defining a two-form instead of a vector.
- D'ailleurs, si le produit vectoriel n'est pas un "vecteur", qu'est-ce qui nous autorise à l'additionner à des vrais "vecteurs" comme on le fait dans l'article "quaternions et rotation dans l'espace" ?
- Vois-tu à présent le point qui me préoccupe ? On mélange des nouilles et des pommes de terres. Les nouilles, c'est les applications linéaires du style rotation de vecteurs, multiplication de matrices, multiplications de quaternions, conjugaison. Comme une bonne vieille translation ou homothétie, on peut calculer leurs conséquences sur les coordonnées par des combinaisons linéaires sur les coordonnées de départ, et elles se fichent comme d'une guigne que ces coordonnées soient exprimées dans une base rétrograde ou non. Les pommes de terre, c'est le produit vectoriel, qui, par définition, fait très attention à ce que le résultat forme une base suivant l'orientation conventionnelle avec les deux vecteurs de départ. Et tout le monde sait que le mélange des nouilles et des pommes de terre, ben c'est pas terrible... MathsPoetry (d) 3 juin 2009 à 22:25 (CEST)
- L'orientation est une notion tardive. Elle est née à la fin du XIXe siècle. La première question d'orientation était la suivante: comme suivre continue une direction normale le long d'une surface plongée dans R3 ? Les mots "orientation" et "s'orienter" sont apparus plus récemment encore dans la langue française (à confirmer!). Le produit vectoriel a été défini vers 1840 par Hamilton, via les quaternions justement, et avant que la notion d'orientation soit comprise ou même soulevée. (Il faut connaitre des objets non orientables pour voir l'intérêt de définir l'orientation!) Le produit vectoriel dans R7 fait référence aux octonions, R7 étant l'espace des octonions purs.
- Ta citation fait probablement référence aux travaux parallèles de Grassmann, qui définit les "grandeurs extensives", ancêtres de l'algèbre multilinéaire. Les travaux de Grassmann (que j'ai déjà eu l'occasion de lire) sont une définition informelle de l'algèbre extérieure, et une tentative de donner un sens au mot vecteur. Il faut connaitre d'autres objets que des n-uplets de réels pour avoir envie de définir le concept de vecteur.
- Lis algèbre extérieure (article à compléter!)
- Le produit extérieur de deux vecteur u et v de E vit dans (grandeurs extensives pour Grassmann). Mais à mon sens, les travaux de Grassmann étaient trop obscurs et novateurs pour être compris. Hamilton a interprété ces "grandeurs" comme des vecteurs donc des éléments de E=Rn. L'espace est de dimension si E est de dimension n. L'identification ne pouvait donc se faire qu'en dimension n=3. Pour E=R3, il existe effectivement un isomorphisme donné par le produit vectoriel. (Cela n'éclaircit pas la définition du produit vectoriel --- Celle apprise en Terminale est parfaite.)
- En 1840, on a l'habitude de travailler avec des n-uplets de réels. Tout comme en Terminale, on a l'habitude de travailler avec des triplets de vecteurs. Le premier travail de Grassmann est réellement novateur car il s'abstient d'utiliser des n-vecteurs, même si c'est obscur (et par endroits difficile à suivre). Selon moi, Grassmann a lui même détruit sa propre oeuvre car il a fini par se ramener lui-même des n-uplets, sans être arrivé à déduire la notion d'espaces vectoriels de celle d'algèbre extérieure. Dommage, un rendez-vous manqué.
- J'ai répondu à tes questions ? Ou je suis parti on ne sait où ? Nefbor Udofix - Poukram! 4 juin 2009 à 00:22 (CEST)
- Il me semble que c'est en 1889, lors de la conférence des poids et mesures, qu'à été décidé l'orientation positive de l'espace. Les anglais avaient obtenus un strapontin, n'étant pas membres de la convention du mètre. On leur avait confié le soin de décider du sens positif du courant électrique, de l'orientation positive, et il me semble d'une troisième chose que j'ai oubliée. Depuis lors, le sens positif du courant va dans le sens contraire des électrons, l'orientation est antihoraire. Ce choix est malheureusement définitif car tous les ingénieurs dans le monde ont appris ainsi...Quant à l'algèbre, je me garderai d'intervenir plus avant sur les travaux de Grassmann (que j'ai mais que je n'ai as lu, d'abord ils sont en allemand) n'étant pas suffisamment compétent en algèbre.Claudeh5 (d) 4 juin 2009 à 08:27 (CEST)
- Tout le problème me semble venir de la confrontation entre l'espace physique de tous les jours, qui a une orientation "naturelle" (électromagnétisme, avant/droite/haut), et l'espace mathématique, où l'on ne peut que prouver qu'il existe deux orientations, et où l'on peut décider arbitrairement d'en appeller une "directe" et l'autre "indirecte", sans qu'aucune d'elles n'ait plus de validité que l'autre. En effet, les notions de "haut" ou de "droite" n'ont pas de sens en mathématiques. Malheureusement, le produit vectoriel me semble avoir été défini dans la page anglaise [cross product] avec l'espace physique en tête, alors que tout le reste de l'algèbre linéaire est défini dans des espaces mathématiques.
- Je viens néanmoins de remarquer que ce problème n'existe pas dans la Wikipedia française. Si la page anglaise "cross product" part bien de l'idée de "main droite", en revanche, la page française produit vectoriel part de l'idée de "base directe". Ces définitions sont incompatibles : rien ne m'empêche en effet de choisir comme orientation directe arbitraire une base qui suivrait l'ordre de ma main gauche.
- D'un point de vue géométrique, le produit vectoriel de deux vecteurs et de E non colinéaires se définit comme l'unique vecteur tel que :
- le vecteur est orthogonal aux deux vecteurs donnés ;
- la base est de sens direct ;
- .
- (...) La notion d'orientation peut ici être comprise de manière élémentaire en utilisant la règle de la main droite : le pouce, l'index et le majeur écartés en un triède indiquent respectivement le sens de u, de v et de w. Cette définition, utilisée dans l'enseignement secondaire, n'est pas totalement satisfaisante.
- D'un point de vue géométrique, le produit vectoriel de deux vecteurs et de E non colinéaires se définit comme l'unique vecteur tel que :
- Apparemment, le problème provient du mélange de définitions issues de la physique et de définitions issues des maths. Si l'on prend les définitions de la physique, il faut travailler en permanence en base "main droite", sinon cela ne marche effectivement plus (et l'article "quaternions et rotation dans l'espace" a bien un problème caché). Si l'on prend les définitions des maths, on peut se permettre d'utiliser des "bases directes" sans qu'elles ne correspondent nécessairement à l'orientation conventionnelle de l'espace.
- Par ailleurs, si l'article anglais sur le produit vectoriel mentionne la notion de "pseudo-vecteur", ce n'est pas seulement parce qu'il y a un souci d'orientation lié à la définition du produit vectoriel qu'ils donnent. Il y a bien des raisons beaucoup plus profondes, que tu as expliquées de façon brillante : on ne bosse effectivement pas dans le même espace vectoriel. On se ramène dans E par isomorphisme, et ça ne marche effectivement qu'en dimension 3. Cela montre encore une fois les dangers de passer mentalement de l'isomorphisme à l'égalité, à assimiler des objets différents sous prétexte qu'il y a une correspondance un-à-un...
- Pour en revenir à la différence de définition du produit vectoriel entre la page française et la page anglaise, quelque part, ça me gène un peu. Ça veut dire que la Wikipedia est incohérente. Autant on peut expliquer dans l'enseignement secondaire que les mathématiciens et les physiciens n'ont pas les mêmes approches, mais que les deux points de vue sont légitimes, chacun avec ses mérites, autant c'est génant dans un projet encyclopédiste d'avoir "deux vérités" distinctes.
- Et il n'y a pas que ça qui me gène. Les pages anglaises assimilent en permanence les vecteurs à des n-uplets de Rn, autrement dit ils peuvent écrire une égalité entre un vecteur et ses coordonnées : . C'est un peu dommage de perdre de vue que les vecteurs sont des êtres complètement indépendants des nombres. La notion importante est celle d'algèbre extérieure, les coordonnées ne sont qu'un instrument de calcul et qui ne marche d'ailleurs que s'il existe une base vectorielle. Ça rejoint un peu ce que tu disais sur le "rendez-vous manqué" de Grassmann (que je n'ai pas non plus lu).
- Je vous avais bien dit que c'était démoralisant
... MathsPoetry (d) 7 juin 2009 à 09:51 (CEST)
Et l'algèbre géométrique
modifierJe suis surpris, ou plutôt je devrais l'être, de voir que l'on peut aujourd'hui écrire un article sur "quaternions et rotations" en ignorant complètement les travaux faits pendant les quarante dernières années d'abord par David Hestenes, puis à Cambridge par Gull, Doran, Lasenby, enfin à Amsterdam par Leo Dorst, pour construire une performante algèbre géométrique, initiée il y a 150 ans par Grassmann et par Clifford.
L'algèbre géométrique est une algèbre de Clifford très géométrique et pratique, ce que tout le monde ne semble pas apprécier. Les quaternions en sont une sous-algèbre paire, qui de plus continue à être utilisée dans sa version originale hamiltonienne. Hamilton, qui ne connaissait pas les travaux de Grassmann, a malencontreusement interprété en tant que vecteurs des éléments bivectoriels, ce qui a probablement largement contribué a leur relatif insuccès.
Le véritable article à écrire serait "algèbre géométrique et rotations". Vous constateriez que pas mal de difficultés disparaîtraient comme par enchantement, notamment en ce qui concerne les orientations. Plus question non plus d'éléments imaginaires; l'algèbre géométrique est construite sur des nombres réels. Les opérations algébriques sont beaucoup plus souples que celles des quaternions, et peuvent pour l'essentiel être menées hors coordonnées.
Instruit par plusieurs interventions sur le wiki anglo-saxon, j'attends la première balle ... , sans rancune ! --Chessfan (d) 29 mars 2010 à 21:04 (CEST)
Quaternions optimaux
modifierBonjour, j'ai remarqué la section 'quaternions optimaux' proposant une technique afin d'obtenir le quaternion le plus proche du quaternion réel pour une matrice ayant des erreurs d'arrondi. La technique propose de calculer une nouvelle matrice de rotation ayant des propriétés lui permettant de récupérer le quaternion le plus proche du quaternion réel recherché.
J'ai testé la technique en Matlab et je n'ai obtenu aucun résultat concluant; j’obtiens systématiquement un quaternion erroné, qui n'a rien à avoir avec le quaternion recherché. J'aimerai connaitre des sources démontrant que cette technique fonctionne, car j'ai des doutes sur son bon fonctionnement. Salutations, Alexandre.willame (discuter) 30 juin 2014 à 17:49 (CEST)
- De toute façon, Wikipédia n'est en principe pas un guide pratique...
--Catarella (discuter) 30 juin 2014 à 20:49 (CEST)