Discussion:Suite de Farey

Fraction continue/continué

Bonjour, on dit une "fraction continue" et non "continuée". Cordialement, E.T.

Pourquoi la difference de 2 termes consecutifs est egale a 1/bd?

Des homonymies, une remarque stylistique, et un peu plus

Résol

J'ai appliqué ce principe, dans l'introduction, au cas très simple du mot « fraction ».

En revanche, j'ai beaucoup plus de problèmes avec le mot « médian » qui pointe par deux fois (aux paragraphes 2 et 3.2) vers une page d'homonymies. Ce lien est beaucoup plus perturbateur qu'éclairant, puisque finalement, la page d'homonymie ne fait rien d'autre que revenir au présent article, et très précisément au paragraphe 3.2 : on tourne en rond, et de façon inutile puisque la définition de ce mot figure justement au paragraphe 3.2 ! Et sauf erreur, cette acception du mot « médian » est très particulière, propres aux suites de Farey, donc une excursion vers un article extérieur me semble néfaste. Je proposerais donc dans le paragraphe 2 de changer ainsi la troisième phrase :

« Farey conjectura que chaque terme dans une telle suite est le « médian » de ses voisins (voir définition ci-dessous §3.2) ; néanmoins, à ce que l'on connaît, il ne prouva pas cette propriété. »

Et dans le paragraphe 3.2 où le terme est défini, on pourrait tourner la phrase ainsi :

« alors $p/q$ vérifie la relation :
:${\frac {p}{q}}={\frac {a+c}{b+d}}$. On dit par définition que $p/q$ est le médian de $a/b$ et $c/d$. »

Au passage, deux remarques :

• d'une part, Hardy et Wright, pour ne citer qu'eux, écrivent en anglais « mediant » (avec un « t » à la fin), ce qui exclut toute confusion possible avec le terme de statistique. N'y a-t-il pas de publications en français qui auraient suivi cet exemple ?
• d'autre part, notons que ce mot se télescope dans le présent article avec une observation du paragraphe 3.1. : « Le terme médian d'une suite de Farey est toujours $1/2$, lorsque $n>1$. » Ici, le mot « médian » est utilisé dans son acception classique. Cela dit, cette phrase n'a de sens que si la suite de Farey a toujours un nombre de termes impair : c'est bien le cas, mais il me semble que ce n'est dit nulle part, ce qui est peut-être regrettable. On pourrait donc reprocher à la rédaction actuelle d'être un peu elliptique, et on pourrait proposer une formulation plus explicite, par exemple :
  
  « On démontre facilement que la fraction 1/2, qui appartient à toute suite de Farey, en est toujours un élément de symétrie. Cela prouve en particulier que toutes les suites de Farey ont un nombre impair de termes et que 1/2 en est le terme médian. »
  
  Simple suggestion, pour me racheter.

Pour finir, une remarque stylistique. Je trouve le rédacteur bien indulgent quand il écrit dans l'introduction

« Une suite de Farey est quelquefois appelée série de Farey, ce qui n'est pas véritablement correct, les termes n'étant pas additionnés. »

S'il est vrai que l'on voit parfois utilisé le mot de « série » (en anglais en tout cas, par exemple chez Hardy et Wright déjà cités), il n'en est pas moins vrai que ce mot est parfaitement incorrect ici, pour la raison justement mentionnée. En tout cas, en langue française ! Ce ne serait donc pas faire preuve d'une opinion personnelle ni de sévérité excessive, mais simplement de respect de la langue mathématique française, qu'écrire :

« Une suite de Farey est quelquefois appelée improprement « série de Farey », ce qui est en réalité incorrect, les termes n'étant pas additionnés. »

NoModif

Preem Palver 1 février 2013 à 17:19 (CET)

Personne n'étant intervenu depuis ma contribution d'hier, et celle-ci étant trop rapide (j'aurais dû réfléchir un peu avant d'écrire), je me suis permis de la retoucher. J'espère que cela ne contrevient pas aux règles qui régissent les wiki-échanges. De toute façon, quiconque souhaitera m'incriminer pourra se reporter à l'historique, qui montre à quel point ce que j'avais écrit était naïf et hors de propos… Désolé.

Preem Palver 2 février 2013 à 09:36 (CET)

Médian

Bonjour,

l'article utilise le mot médian dans un sens particulier, que je ne connaissais pas. Il y a un lien vers la page d'homonymie médian, qui renvoie vers cette page pour cet emploi. Est-ce que vous connaissez un autre cadre d'utilisation ? Si oui, il faudrait le mettre dans la page d'homonymie, et peut-être créer un article ; si non il faudrait annoncer dès le début cet emploi non-usuel, et ne pas lier vers la page d'homonymie. --Roll-Morton (discuter) 26 mai 2015 à 10:54 (CEST)

En fait cette terminologie est liée à la médiane d'un triangle, je vais tâcher d'expliquer ça dans l'article.

Laurent de Marseille (discuter) 14 juin 2015 à 13:42 (CEST)

Pourquoi ne pas utiliser le terme médiane ? Une fraction pourrait être la médiane de deux fractions, avec un petit caveat signalant que la représentation desdites fractions y est importante.

JC d'Auvergne (discuter) 5 septembre 2016 à 18:29 (CEST)

Propriété de voisinage

J'ai rétabli la propriété de voisinage (bc - ad = 1 ssi a/b et c/d sont consécutives à l'ordre max(b, d)) assortie d'une petite explication car elle n'était apparemment pas comprise.

Petit commentaire : c'est la première fois que je retourne sur cette page depuis 3 ans et quelques, et j'y ai découvert la modification que j'ai annulée. Pour l'auteur de cette modif il aurait été plus raisonnable avant d'écrire celle-ci de poser la question dans cette page de discussion ; vous avez remplacé un énoncé précis et vrai par un énoncé imprécis et plutôt confus ça n'était pas très heureux. Mais vous avez raison : un exemple pour clarifier ce point un petit peu subtil aurait été bienvenu.

Laurent de Marseille (discuter) 14 juin 2015 à 13:38 (CEST)

Les énoncés sont précis et vrais, mais il manque une démonstration — comme dans la version anglaise. Je suggérerais bien un texte plus « Bourbakiste » avec un lemme et une proposition, du genre

Lemme. — Soient deux fractions a/b < c/d vérifiant bc – ad = 1 (elles sont donc irréductibles). Toute fraction p/q vérifiant a/b < p/q < c/d doit avoir un dénominateur q ≥ b + d.

En effet, de a/b < p/q on déduit pb – qa > 0, soit pb – qa ≥ 1. On multiplie par d : pbd – qad ≥ d puis on remplace ad par bc – 1 :

pbd – qbc + q ≥ d, soit q ≥ d + b(qc – pd) ≥ b + d, cqfd.

Proposition. — Pour que deux fractions a/b < c/d soient consécutives dans F_n où n < b+d, il faut et il suffit qu’elles vérifient cb – ad = 1.

D’après le lemme ci-dessus, a/b < p/q < c/d avec bc – ad = 1 implique q ≥ b+d. Cela ne se peut dans F_n quand n < b+d et donc les fractions a/b et c/d y sont consécutives. Réciproquement, supposons b ≥ d. Comme a et b sont premiers entre eux, ils vérifient l’égalité de Bachet de Méziriac :

ub – va = 1

et on peut exiger 1 ≤ v ≤ b, quitte à ajouter kb à v et ka à u (k entier). Les fractions a/b < u/v sont alors toutes deux dans F_n. Comme d < b+v, c/d ne peut s’insérer entre les deux et ne suit donc pas a/b sauf à être égale à u/v. Même raisonnement si d > b en considérant l’égalité vc – ud = 1 (1 ≤ v ≤ d).

JC d'Auvergne (discuter) 5 septembre 2016 à 19:23 (CEST)