Discussion:Théorème de l'application conforme

Bonjour,

Je propose ici un pré-plan pour cet article:

1. Origine du problème: la cartographie
2. Comportement local d'une application holomorphe dont la dérivée ne s'annule pas: elle conserve les angles.
3. Si l'application s'annule en a...
4. notion d'ouvert simplement connexe.
5. énoncé du théorème de l'application conforme de Riemann
6. Liens avec certains problèmes d'équations aux dérivées partielles
7. idées des démonstrations proposées du théorème
   1. l'ébauche de Riemann
   2. Le principe de Dirichlet
   3. La réfutation de Weierstrass
   4. La preuve par les familles normales
   5. La preuve directe
8. La question de la frontière
9. Les théorèmes associés
   1. Théorème de schwarz-pick
   2. Principe de symétrie
10. Exemples
    1. Les transformations homographiques
    2. La transformation d'une bande en cercle
    3. La transformation de Schwarz-Christoffel
    4. Le cas des ouverts multiplement connexes
11. Bibliographie

Claudeh5 (d) 20 février 2010 à 17:00 (CET)

mouais... Faudrait pas oublier que l'article transformation conforme existe déjà --Dfeldmann (d) 20 février 2010 à 17:15 (CET)

Je ne suis pas convaincu par ce genre de plan posant trop de contexte avant d'arriver à ce qui est central dans les sources les plus simples traitant du sujet, à savoir son énoncé et sa démonstration. Les mises en contexte peuvent se faire par wikiliens, et si on ouvre sur quelque chose le plan de DF d'ouvrir sur l'uniformisation des surfaces de Riemann me semble plus défendable que le celui de Claude consistant à ouvrir sur tout ce qui contient du "conforme" en analyse complexe. Suggestion d'ailleurs qui me vient à l'esprit en tapant ça : peut-être vaut-il mieux renvoyer le théorème d'uniformisation à un autre article, et à la fin de celui-ci se contenter d'expliquer sommairement qu'il y a une suite et que qui veut la lire peut cliquer là où c'est bleu. Touriste (d) 20 février 2010 à 17:37 (CET)

Euh... tu l'as regardé l'article transformation conforme et tu y as compris quelque choses ? D'autre part, je ne comprends pas trop que l'on puisse séparer les deux: {le théorème et sa démonstration] et {les transformations conformes}.Enfin, un théorème ne se comprends que si l'on sait d'où il vient, et quel problème il résout.Si l'on se contente de l'énoncé et de sa démonstration, je ne vois pas l'intérêt: les spécialistes sauront de quoi il s'agit mais cela était déjà le cas avant et aucune perspective nouvelle pour eux. Le débutant ne comprendra rien et ne voyant aucune application restera sur sa faim: moralité, on aura perdu son temps à rien.Claudeh5 (d) 20 février 2010 à 17:58 (CET

Non je ne l'ai pas ouvert (toujours pas en tapant ça, mais je ferai après avoir tapé sur "publier"), en tous cas s'il n'est pas bon il est donc améliorable -et si le bon endroit pour parler de transformations conformes n'est pas l'article transformation conforme... Je ne propose pas de se borner à « l'énoncé et sa démonstration », mais à les mettre en exergue. Je préfère ne pas me lancer dans des débats trop généralistes alors que nous parlons d'un article, mais je ne résiste pas : les lecteurs ne sont pas forcément des « spécialistes » ou des « débutants » - il y a plein de niveaux intermédiaires entre les deux. Touriste (d) 20 février 2010 à 18:04 (CET)

Tu serais étonné, sur un sujet aussi classique, du nombre de sottises qu'on peut entendre de gens qui sont loin d'être des débutants : mon directeur de thèse m'a par exemple sortit un jour qu'il n'existait pas de transformation conforme d'un rectangle en un autre rectangle ! Claudeh5 (d) 20 février 2010 à 18:33 (CET)

bibliographie: j'ai 43 référence traitant exclusivement de transformations conformes, non compris les traités d'analyse complexe + le dictionnaire Kober des représentations.Claudeh5 (d) 20 février 2010 à 18:48 (CET)

Juste une remarque : évidement, l'article transformation conforme est très mauvais... mais il est peut-être améliorable (sinon, à recycler, voire à refaire). Ce qui est sûr, c'est que le théorème de Riemann doit y être mentionné, mais pas traité là... Il y a matière à deux articles séparés, sinon bien plus...--Dfeldmann (d) 21 février 2010 à 08:11 (CET)

Remarque

Bonjour, je suis assez réservé sur la section sur l'intuition :

• de manière liminaire, les suppositions sur l'intuition d'un lectorat sont souvent hasardeuses.
• la phrase d'accroche m'interpelle : s'agit-il vraiment pour prouver ce théorème de "rendre dérivable" une transformation donnée a priori ?
• la remarque sur le plan me semble assez hors de propos : l'énoncé affirme clairement le fait que le plan joue un rôle spécial ; et cette remarque n'éclaire pas le pourquoi (il faudrait me semble-t-il parler d'hyperbolicité et de parabolicité, non ?)
• je ne comprends pas la remarque sur les carrés et les rectangles. En quoi "paraît-il" impossible de transformer un carré en rectangle : les angles sont bien conservés ; et je ne vois pas en quoi les carrés infinitésimaux peuvent aider l'intuition à se former.
• la question de trouver des transformations explicites est intéressante, mais quasiment rien n'est dit dessus en définitive.
• enfin les trois derniers points sont repris dans la dernière section de l'article "Conséquences et généralisations" : c'est leur place naturelle, et je ne suis pas convaincu qu'ils aient un rôle à jouer dans la section sur l'intuition.

Cordialement, Gouffy (d) 2 mars 2010 à 19:38 (CET)

Mouais... Disons que j'essaie (en m'inspirant de WPen, mais pas que) de montrer le caractère non-intuitif du théorème ; visiblement, je n'ai pas réussi avec toi. Cela dit :

• Ben non, justement, mais par analogie avec, mettons, les théorèmes d'approximations de Weierstrass, par exemple, on pourrait le penser, et, de fait, passer de continu à différentiable est facile
• Je ne comprends pas : si le résultat était si évident, pourquoi cela marcherait-il pour le demi-plan et pas pour le plan entier ? Ca n'a rien à voir avec cette histoire de parabolicité...
• Ben si les carrés infinitésimaux sont changés en carrés ,comment peut on arriver à une déformation en rectangle ? D'ailleurs, on ne peut pas le faire à l'aide des fonctions usuelles...
• En revanche, l'histoire des fonctions explicites, ça, ça mériterait un article à lui seul, et Claudeh5 proposait d'en écrire un...--Dfeldmann (d) 2 mars 2010 à 20:33 (CET)

Ben ce qu'a écrit Gouffy, je l'avais pensé indépendamment depuis plusieurs jours, je le plussoie donc.

Moi, par exemple, j'étais gêné par le troisième point : qu'il soit impossible de donner une forme explicite à une bijection ne donne pas à toute personne un peu entraînée aux mathématiques l'intuition que cette bijection « n'existe pas ». L'énoncé « aucun théorème même vaguement analogue en dimension 3 ou plus » me choque un peu : sauf erreur (je m'aperçois ne pas le savoir avec certitude !) les ouverts simplements connexes sont tous difféomorphes entre eux, ce qui est tout de même pas mal "analogue".

Je cains bien que tu sois dans l'erreur : j'aurais juré que le complémentaire d'un point dans R^3 était simplement connexe...--Dfeldmann (d) 2 mars 2010 à 21:25 (CET)

Oups méga lapsus, honte à moi. Je voulais dire "contractile" bien sûr. Ou "à homotopie nulle" (mais je ne sais pas bien si c'est équivalent, et si l'un au moins entraîne la difféomorphie à la boule -en fouillant Google Books j'ai vu l'étendue de mon ignorance, je ne m'enfonce pas davantage, on peut me voir). Touriste (d) 2 mars 2010 à 21:54 (CET)

Oki, même en me corrigeant de mon évident lapsus, j'apprends maintenant avec certitude que ce que j'intuitais vaguement était complètement faux, et laisse le lien pour référence, ça ne peut faire de mal : [1] ou tout simplement en:Whitehead manifold. Honte à moi encore. Touriste (d) 2 mars 2010 à 22:23 (CET)

D'une façon générale, si le pas sourcé sourçable peut se défendre, je trouve que l'auteur initial de l'article en anglais t'a donné un bien mauvais exemple, car je redoute qu'une partie de son pas sourcé soit non sourçable. Certes « il faut remarquer la curieuse exception du plan » mais _qui_ l'a ainsi mise en avant ?

Mouais... C'est vraiment pas raisonnable, ça... Des sources de ce genre, j'en ai des tas (Delahaye, mettons, pour des tas de trucs semblables), mais j'aurais du mal à en trouver une précise sur un théorème un peu pointu, cela dit, elles existent toujours : c'esr des remarques typiques de prof. Bon, la notion de sourçage, dans ce contexte, est absurde : le but est de rendre les choses vérifiables ; donc si j'écris "on remarquera que le produit des matrices, contrairement au produit ordinaire, n'est pas commutatif en général, puisque...", je me refuse à sourcer (pourquoi un contributeur pointilleux ne le ferait-il pas lui-même ?). Si, un jour, je dois me faire virer de WPfr pour ça, pas grave, j'irai ailleurs, sur WPen, par exemple. --Dfeldmann (d) 2 mars 2010 à 21:25 (CET)

« pour des tas de trucs semblables » peut-être, mais pour _celui-là_. Deux personnes déjà (Gouffy puis moi) ont trouvé que cette "exception" était certes curieuse, mais pas frappante. Ils se demandent donc si elle a vraiment frappé quelqu'un. Tu fais de la rhétorique artificielle en allant chercher le produit des matrices ; c'est certain que sa non commutativité, même non sourcée, est sourçable. La question que je pose concerne uniquement la singularité spécifique du plan parmi ses ouverts, et c'est elle dont je regrette le manque de sources. Touriste (d) 2 mars 2010 à 21:54 (CET)

Pas super convaincu non plus des passages (qui sont de ton initiative, je présume, sur Julia et Mandelbrot) : dès lors que l'uniformisation est explicite, elle est limite hors sujet dans cet article, qui parle justement des cas où on ne peut pas l'expliciter pour dire qu'elle existe quand même. Sauf erreur, ce théorème ne doit pas servir dans Douady-Hubbard (ou alors, je n'ai pas de Rudin sous la main et du coup je ne sais plus comment ça marche, il sert pour démontrer que le complémentaire d'un ouvert simplement connexe est connexe ? - dans ce cas il sert en effet indirectement, mais ça devrait être davantage mis en relief) (cf. remarque 2 page 16 de ta source).

Bref je ne suis pas très convaincu par ton approche. J'ai un peu peur que tu n'aies l'impression que je te mette des bâtons dans les roues (le but n'est certainement pas de te dégoûter de contribuer), donc je suis prêt à me faire plus discret ; mais si tu veux vraiment un retour, je ne suis pas très enthousiaste sur une partie significative, avec d'autant moins de gêne pour te le dire que ça vient pour une bonne partie de ta source en anglais. Touriste (d) 2 mars 2010 à 20:46 (CET)

Merci de la réponse. Je ne sais pas trop où insérer la mienne donc je reviens à la ligne. Il reste donc 3 poins sur lesquels je vais tenter de m'expliquer plus précisément :

• Il est dit : Une description plus intuitive du résultat est que si un ouvert du plan peut être mis en bijection continue avec le disque unité, cette bijection peut être rendue dérivable. Formulé ainsi, le théorème peut sembler assez naturel ; les remarques suivantes devraient convaincre qu'il n'en est rien. J'en sors avec l'idée qu'on prouve le théorème en rendant biholomorphe un homéomorphisme ; la négation finale ne portant pour moi pas sur la méthode de construction, mais sur la "naturalité" du théorème.
• Je répète la question : pourquoi cela marche-t-il pour le demi-plan et pas le plan entier ? Je ne trouve pas que l'article réponde à cette question. Bon, on souligne que ça ne vient pas du caractère non borné, mais pourquoi insister sur ceci en particulier ? Je trouve ça peu satisfaisant (d'où ma remarque). Pour l'hyperbolicité, j'avais rouvert un cours de maîtrise, et c'est là que j'ai trouvé cette explication, mais je ne prétends pas la maîtriser.
• Pour les rectangles et carrés : je comprends conforme comme « qui conserve les angles ». Donc je ne suis pas si choqué qu'un rectangle puisse être transformé en carré. En revanche, je ne visualise pas du tout ce que peut bien être un carré infinitésimal, donc l'explication sur l'impossibilité apparente ne me convainc pas. Par ailleurs, si j'essaie quand même de me représenter un carré infinitésimal, je me dis que pour arriver à un carré normal, il faudra faire par nature un pavage infini ; et cette nécessité de l'infini fait que je ne m'autorise pas du tout à être surpris qu'en passant de l'infinitésimal au non infinitésimal une souplesse supplémentaire soit obtenue. Ou bien, dans l'autre sens, peut-on concevoir un rectangle infinitésimal ?

Ceci dit, comme cela a été très justement remarqué, ce ne sont que mes impressions de lecteur, et je ne veux surtout pas donner l'impression que je souhaite contraindre le rédacteur de quelque manière que ce soit. Cordialement, Gouffy (d) 3 mars 2010 à 18:51 (CET)

Bonjour, je me permets de répondre à la place de Dfeldman pour la question du demi-plan et du plan

Si on a un biholomorphisme de D (disque de rayon 1) dans C (le plan complexe), l'application réciproque de C dans D serait une fonction entière bornée (par 1 en valeur absolue) et d'après le principe du maximum serait constante ce qui est absurde. Le principe du maximum ne s'applique que pour les fonctions entières holomorphes sur le plan tout entier. --Cbigorgne (d) 3 mars 2010 à 19:14 (CET)

Effectivement, traduit dans le langage de l'hyperbolicité, cela revient à dire que le principe du maximum assure que C est parabolique. Je trouve que cette remarque est intéressante et mériterait de figurer dans l'article. Gouffy (d) 3 mars 2010 à 19:25 (CET)modifié Gouffy (d) 3 mars 2010 à 19:29 (CET)

Oui, c'est la démonstration, mais cette démonstration ne pas forcément à la question "pourquoi" (enfin ça c'est une question d'appréciation personnelle)... Si je peux me permettre de mettre mon grain de sel, la différence très visible à mon sens entre D et le plan est le lemme de Schwarz (c'est une autre conséquence du principe du maximum) - une bijection biholomorphe du disque dans lui-même qui conserve 0 est une rotation. Le groupe des automorphismes biholomorphes du disque est donc de dimension réelle 3 (deux dimensions pour décider quel point on envoie sur 0, puis une dimension pour faire tourner éventuellement le disque ensuite -c'est PSL_2(R) en fait). Tandis que dans le plan tout entier, on a en plus des dilatations comme z donne 2z qui n'ont aucun analogue sur le disque : le groupe des automorphismes c'est le groupes des az + b, a et b complexes (a non nul) et il est donc de dimension réelle 4 (ou disons au moins 4 si on ne veut pas faire l'effort de montrer qu'il n'y en a pas d'autres). Il saute donc aux yeux que D et C n'ayant pas le même groupe d'automorphismes, ils sont foncièrement différents. (Et c'est d'ailleurs parce que cette différence me semble très visible que je chicane sur le caractère "non intuitif" de l'exception, plus haut). Touriste (d) 3 mars 2010 à 19:27 (CET)

Ca aussi c'est intéressant ; et effectivement, plus intuitif à mon goût. Même si je dois admettre que ça ne m'avait pas sauté aux yeux. Gouffy (d) 3 mars 2010 à 19:31 (CET)

Je voulais juste faire remarquer en plus que si on peut admettre que c'est "parce que" le plan a plus de "symétries" que le disque (et aussi, à la rigueur, que le demi-plan), cela suppose déjà de connaître les résultats non évidents qui sont que dans le plan, les seules bijections conformes sont les transformations az+b , et , encore moins évident, le lemme de Schwarz. Bref, quand on ignore tout de l'analyse complexe, on ne voit pas bien pourquoi on a ces restrictions, nullement nécessaires en analyse réelle ; quand on commence à connaître la rigidité des fonctions holomorphes, c'est au contraire l'existence de transformations conformes entre, mettons, un carré et un rectangle, qui devient contre-intuitive. Mais, en effet, ce genre de remarque montre que l'intuition diverge d'un lecteur à un autre ; il doit bien y avoir des gens (Carathéodory ?) pour qui tout cela était évident depuis le début...--Dfeldmann (d) 3 mars 2010 à 22:38 (CET)