Discussion:Théorème du point fixe de Kakutani

Démo dans le cas du segment + topologie "produit"

Deux aspects posent peut-être problème ?

D'une part attribuer une topologie produit à l'ensemble des parties d'un ensemble : pas compris, quelle est la topologie pour l'ensemble des parties d'un ensemble ?

D'autre part, un passage un peu rapide dans la démo du cas segment : on dit que comme le graphe est fermé et que les suites $(a_{i},p_{i})$ et $(b_{i},q_{i})$ convergent vers $(a,p)$ et $(b,q)$ alors $p\in \varphi (a)$ et $q\in \varphi (b)$.

En réalité, comme on n'a aucune hypothèse sur la continuité de $\varphi$, un début de démonstration pourrait être :

A chaque pas, lorsqu'on peut choisir $r\geq m_{k}$ et qu'il existe $r'<m_{k}$ on pose $p'_{k}=r'$. S'il n'existe pas de $r'<m_{k}$ on prend $r'=r$. Cela définit une suite $p'$.

Étant donné qu'à chaque pas le choix est libre, cela donne une infinité (ou pas !) de suites $p$ et $p'$ possibles que l'on indice par $\alpha$.

Pour $k$ donné on a $\{p_{k,\alpha }\}\cup \{p'_{k,\alpha }\}=\varphi (m_{k})=\varphi (a_{k})$. L'ensemble des suites extraites tendent alors bien vers une partie du segment, de sorte que l'on peut dire (c'est là où la topologie devient importante...) que la suite extraite de $\varphi (a_{k})$ tend vers une partie du segment. Ainsi la suite $(a_{k},\varphi (a_{k}))$ tend vers une limite et comme le graphe est fermé et que la limite de $a_{k}$ est $a$, on en déduit que la limite de $\varphi (a_{k})$ est $\varphi (a)$.

Fabrej0 (discuter) 12 janvier 2014 à 11:46 (CET)

Bonjour, je n'ai pas lu la 2^e moitié de ton message ci-dessus car c'était inutile pour répondre à la 1^re. Anne (discuter) 12 janvier 2014 à 13:50 (CET)

Bonjour Anne et merci pour ton aide sur la compréhension de l'article.

En fait pour la topologie sur l'ensemble des parties c'est OK mais je t'engage à lire mon second point car j'ai l'impression que le fait que $\varphi (a_{n})$ ait une limite doit être prouvé. C'est seulement après, quand on a prouvé qu'une limite existe, qu'on se sert de l'hypothèse du graphe fermé.

Dis-moi si j'ai tout faux ! Fabrej0 (discuter) 12 janvier 2014 à 23:06 (CET)

Merci, grâce à toi j'ai gommé ma mauvaise interprétation dans ma traduc de l'article de :en : c'est moi qui avais pris l'initiative de parler de topologie produit, et qui avais pris pour un théorème (avec cette topologie) ce qui n'était qu'une définition : le graphe de φ est fermé si, lorsque (a, p) est une valeur d'adhérence de (a_i, p_i) et que p_i ∈ φ(a_i), on a p ∈ φ(a). Anne (discuter) 13 janvier 2014 à 00:10 (CET)