Discussion:Théorème isopérimétrique

A propos de l'intro

pas d'accord avec le début il ne s'agit pas de n'importe quelle mesure, je m'explique :

en géométrie euclidienne, on déduit du produit scalaire l'existence d'une mesure naturelle sur tous les sous-espaces vectoriels ou affines. A priori la mesure de Lebesgue est définie à un facteur près, mais en chaque dimension on choisit celle qui vaut 1 sur le cube unité.

on a plus généralement une mesure naturelle sur toutes les sous-variétés de l'espace euclidien (avec les cubes infinitésimaux), et dans l'inégalité isopérimétrique "classique" on compare la mesure d'un compact et la mesure (n-1) dimensionnelle du bord. cette démarche peut se généraliser en géométrie riemannienne

mais déjà dans un espace normé dont la norme n'est pas euclidienne, on n'a pas de notion naturelle (en fait il y en a plusieurs, c'est compliqué) de mesure (n-1) dimensionnelle une discussion de cette question se trouve dans Burago-Burago, Ivanov, A course in metric geometry, AMS graduate studies.

conclusion ; restons dans le cadre euclidien en disant pourquoi, avec éventuellement une extension au cas riemannien + tard

Jaclaf (d) 5 novembre 2008 à 16:13 (CET)

Une approche plus élémentaire

il me semblerait préférable de mettre le contenu de cet article dans "inégalité isopérimétrique" pour la raison suivante ce résultat fait partie d'une foule de résultats sur la même thématique (triangles, polygones, inégalités dans les espaces à courbure constante, inégalités faisant intervenir d'autres invariants géométriques etc...) ci dessous quelques exemples élémentaires

point de départ : les rectangles

l'identité $(a+b)^{2}-4ab=(a-b)^{2}$ permet de voir que si A est l'aire, P le périmètre d'un rectangle de côtés a et b, on a $P^{2}\geq 16A$, l'égalité n'étant réalisée que pour les carrés. Autrement dit, parmi tous les rectangle de même aire, c'est le carré qui a le plus petit périmétre, et à l'inverse parmi tous les rectangles de même périmètre, c'est le carré qui a la plus grande aire.

Triangle

le "meilleur" triangle est équilatéral (géométrie élémentaire : on peut diminuer le périmètre en gardant l'aire dès que deux cotés sont pas de même longueur + une petite subtilité, on utilise le fait que le minimum doit être réalisé) L'inégalité explicite,un peu plus sophistiquée, est $P^{2}\geq 12{\sqrt {3}}A$

Jaclaf 6 janvier 2007 à 23:02 (CET)

quadrilatères

à aire donnée c'est bien sûr le carré qui réalise le minimum du périmètre. marche à peu près à l'aide de méthodes de symétrisation.

nombre quelconque de côtés

je sais que ça se fait mais pas de solution dans les doigts en ce moment ; une jolie question intermédiaire, sachant que pour $n\geq 4$ un n-gone n'est pas déterminé par les longueurs des côtés, porte sur les n-gones articulés. Ceux d'aire maximum sont inscriptibles, autrement dit les sommets sont sur un même cercle.

Une approche plus exhaustive

Comme le fait remarquer Jaclaf, les théorèmes isopérimétriques peuvent aussi s'exprimer sous une forme plus élémentaire. Ils ne se limitent pas non plus au seul cas de la géométrie euclidienne, de la dimension 2 et de la mesure de Lebesgue. Même dans ce cas, il est plus naturel d'exprimer le théorème isopérimétrique comme le fait que le disque est la surface la plus vaste pour un périmètre donné. Supposer la frontière deux fois continument dérivable est un peu un artifice technique pour démontrer un résultat plus général et plus naturel.

Quitte à se restreindre au monde euclidien et à la dimension 2, la démonstration d'Hurwitz ne me semble pas la seule à mériter un commentaire. L'approche polygonale, celle de Steiner ou encore celle de Bonnesen permettent des généralisations plus aisées.

En conséquence, je propose une approche plus naïve pour l'article Isopérimétrie et traiter ici les théorèmes sous une forme un peu plus exhaustive. Le sujet est largement trop vaste pour être traité en deux articles. Je risque de me restreindre à l'étude de cas particulier comme celui euclidien, en négligeant sauvagement les valuations discrètes ou encore les questions associées aux probabilités, à la théorie des nombres au décompte du nombre de faces d'un polyèdre etc...

D'autres auront ainsi tout loisir d'enrichir le sujet en créant de nouveaux articles ou en enrichissant ceux existant. Jean-Luc W (d) 5 octobre 2008 à 16:09 (CEST)

Assez d'accord avec ce qui précède. Dans cet esprit, ce qui concerne les variétés (où seules figurent les têtes de chapitre) présente un degré de sophistication nettement supérieur et devrait à terme faire l'objet d'un 3e article. j'ai quelques idées mais peu de temps en ce moment.Jaclaf (d) 21 octobre 2008 à 10:48 (CEST)

Je crois que tu as raison. Pour l'instant j'établis les bases nécessaires pour aller plus loin : longueur d'un arc, formules de Steiner-Minkowski, inégalité de Alexandrov-Fenchel, théorèmes de complétude pour la distance de Hausdorff. Il y a fort à parier qu'une fois le travail réalisé, certains articles seront trop lourds et trop hétérogène dans leur niveaux, un nouveau découpage sera nécessaire. Jean-Luc W (d) 21 octobre 2008 à 11:18 (CEST)

un commentaire

il faudrait un petit article à part sur Brunn-Minkowski. je vais tacher de m'en charger.Jaclaf (d) 21 octobre 2008 à 10:48 (CEST)

Merci pour ta relecture. Tu as surement raison, pour l'instant tu trouveras un petit quelque chose dans Somme de Minkowski. Jean-Luc W (d) 21 octobre 2008 à 11:13 (CEST)

désolé, j'avais regardé trop vite l'article Somme de Minkowski. Je viens de mettre un lien la où tu mentionnes Brunn-Minkowski. Cela dit, si on applique les principes que tu énonces sur ta page, B-M mérite d'être disjoint à terme (c'est à dire quand il y aura une démonstration) de Somme de MinkowskiJaclaf (d) 21 octobre 2008 à 16:34 (CEST)

preuve dans le cas général

on n'a pas besoin de C1 par morceaux mais simplement que la frontière soit une courbe de jordan. Voir la page de discussion de longueur d'un arc pour plus de détails.Jaclaf (d) 5 novembre 2008 à 13:27 (CET)

Là, je trouve que tu pousses le bouchon un peu loin. On a besoin que la courbe soit dérivable au sens de Sobolev, c'est à dire que sa dérivée, au sens des distributions, soit représentable par une fonction intégrable au sens de Lebesgue. Un lacet simple de Jordan n'est pas nécessairement dérivable, même au sens de Sobolev. Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 11:08 (CET)

entendons nous bien : il a y DEUX notions de courbe de Jordan a) avec paramètrage continu injectif (c'est le cadre du fameux th de Jordan qui dit que le complémentaire d'une courbe fermée simple a deux composantes connexe)

b) la notion de courbe rectifiable (c'est à dire que le sup des longueurs des lignes polygonales inscrites est fini) et c'est de celle-la qu'il s'agit ici alors la variation totale d'une coordonnée est majorée par ce sup, donc les fonctions coordonnées sont à variation bornée, en particulier dérivables presque partout

pour voir que la formule donnant la longueur comme intégrale de la norme de f^\prime il faut travailler un peu plus voir mes réf dans la page de discussion sur la longueur Jaclaf (d) 6 novembre 2008 à 14:17 (CET)

Tiens, j'aurais dit l'inverse. Comme quoi il faut être prudent. Merci de cette précision qui m'avait échappée. Personnellement, je n'ai pas envie de trop creuser dans cette direction. J'imagine qu'il faut un article introductif simple sur Sobolev, j'imagine plutôt W^1,2(I) c'est à dire les fonctions L² ayant une dérivée L², montrer qu'elles sont continues et, dans un premier temps basta cosi.

Comme tu le fait judicieusement remarquer, les découpages actuelles ne sont pas toujours très pertinents. Différents sujets sont traités dans un même article, plusieurs idées difficiles sont juxtaposées. Et pire que tout, certains aspects élémentaires sont laissés en jachère. Tu as essaimé les pages de discussions d'idées forts pertinentes qui, hélas ne sont toujours pas intégrées dans WP. Actorstudio propose même de passer par le feu des articles comme circonférence. A l'heure actuelle, je ne peux lui donner tort, même si je trouve dommage que ces aspects élémentaires soit si mal traités.

En conclusion, j'imagine mettre la pédale douce sur les aspects avancés de la longueur,

assez d'accord ce n'est pas un hasard si je m'en tiens pour le moment aux pages de discussion Jaclaf (d) 6 novembre 2008 à 16:58 (CET)

pour finir le tour des idées abordées (finir les aspects différentiels sur l'isopérimétrie et la longueur, ainsi que la complétude de la distance de Hausdorff et les majorations d'Alexandrov-Fenchel) pour ensuite, j'espère avec ton aide, redécouper tout cela. Partages tu ma manière de voir ? Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 15:58 (CET)

oui, si cela signifie qu'un certain nombre de choses sont appelées à migrer vers un autre article

Je doute fortement que nous puissions faire quelque chose de convaincant, à tes yeux, à ceux de la communauté et aux miens sans une migration massive. Il faudra juste être créatif et prudent pour arriver à un découpage qui, cette fois, sera le bon. Jean-Luc W (d) 6 novembre 2008 à 18:11 (CET)

quelques réflexions

on est en train (en tous cas Jean-Luc W et moi, de discuter simultanément deux articles (longueur d'un arc et celui-ci) ils sont liés bien sûr. Et surtout dans tous les deux, même si le départ et élémentaire, des choses délicates et subtiles sont en jeux. Pour cet article, je suggère de séparer carrément la dimension 2 des dimensions supérieures Jaclaf (d) 6 novembre 2008 à 16:58 (CET)

Une question d'un non-spécialiste (je suis plutôt algébriste) : les remarques relatives à l'existence d'un optimum me paraissent floues. À partir du moment où une surface vérifie l'égalité isopérimétrique, elle est automatiquement optimum. La seule question pendante reste celle de l'unicité : si tous les hommes font au plus deux mètres de haut, un homme de deux mètres est clairement de hauteur maximum ; évidemment, il n'est peut-être pas le seul... JC.Raoult (discuter) 17 janvier 2020 à 13:41 (CET)

Il me semble que le problème est de vérifier que l'optimum est atteint (pas qu'une certaine surface vérifie l'égalité isopérimétrique, parce que ça, en effet, c'est assez trivial, et montrer qu'elle est nécessaire suppose qu'on ait déjà montré que l'optimum est atteint, non ?). Classiquement, il me semblait qu'on montrait par le contre-exemple des polygones qu'il n'était pas clair que l'optimum soit atteint. Mais bon, c'est pas ma spécialité non plus ; en tout cas, au mieux, ce n'est aussi évident que ça qu'en 2D.--Dfeldmann (discuter) 17 janvier 2020 à 14:12 (CET)

C'est peut-être un peu pus clair dans l'article isopérimétrie. On ne démontre pas qu'un figure vérifie l'inégalité isopérimétrique, on dit en gros que si un optimum existe alors les propriétés de cet optimum ne peuvent donner qu'une figure précise, il reste alors à démontrer qu'elle est bien optimale en comparant alors l'aire de cette figure et l'aire d'une figure tordue(cela peut se révéler difficile). Dans l'article isopérimétrie on présente le parallèle suivant :«Existe-t-il un maximum à l'ensemble des entiers naturels non nul? Si un tel maximum existe, il doit être plus grand que son carré, le seul maximum possible est donc 1»; HB (discuter) 17 janvier 2020 à 15:29 (CET)

Je suis peut-être un peu neuneu, là, mais ce parallèle ne me convainc pas. L'inégalité isopérimétrique exige que toute surface (mesurable, etc.) de périmètre p donné ait un volume inférieur ou égal à p²/4π (tous les hommes ont une taille inférieure ou égale à 2 m). Le disque a justement un volume de p²/4π. Comment peut-il ne pas être maximal ? Bien sûr, il pourrait avoir des concurrents, mais pas plus volumineux. On doit douter de l'unicité mais non de l'existence... JC.Raoult (discuter) 16 février 2020 à 12:46 (CET)

proposition

ce serait bien de profiter du fait qu'on a ici une propriété parlante, avec des variantes élémentaires mais une démo qui montre la nécessité d'outils un peu sophistiqués

il faudrait : un article sur la dimension 2, en démarrant avec un énoncé accessible aux non spécialiste puis quadrilatère ; triangle ; cas général ; polygone (les polygones en dernier car c'est quand même - intéressant)

et un autre article sur le cas général Jaclaf (d) 7 novembre 2008 à 14:09 (CET)

steiner

il y a un trou sérieux : il faudrait démontrer que le polygone extrêmal a exactement n côtés ; l'ensemble des polygones à n cotés n'est pas fermé, sauf si n=3. Une suite de quadrilatères peut très bien converger vers un triangle.Lleuwen (discuter) 14 juin 2020 à 22:01 (CEST)