Asimov4

Théorème

Soit $F\subset \mathbb {R} ^{n}$ un fermé non vide (non borné)

Soit $f:F\to \mathbb {R}$ une application continue 0-coercive

Théorème 4 (Démonstration) — Une fonction continue 0-coercive $f$ sur un fermé non vide (non borné) $F$ admet un minimiseur global sur $F$

Démonstration

Minimiser $f$ sur $F$ revient à minimiser $f$ sur un compact $K\subset F$

${\begin{cases}F\neq \varnothing \\f:F\to \mathbb {R} \end{cases}}\quad \Rightarrow \quad \inf _{x\in F}f(x)\in \{-\infty \}\cup \mathbb {R}$

$\Rightarrow \exists M\in \mathbb {R} \quad /\quad M>\inf _{x\in F}f(x)$

Par 0-coercivité de $f$ :

$\exists R_{1}>0\quad /\quad ||y||\geq R_{1}\quad \Rightarrow \quad f(y)\geq M$

$F\neq \varnothing \quad \Rightarrow \quad \exists R_{2}>0\quad /\quad \{x\in F\ |\ ||x||\leq R_{2}\}\neq \varnothing$

Soit $R=max(R_{1},R_{2})$ et $K=\{x\in F\ |\ ||x||\leq R\}$

$K={\bar {B}}(0,R)\cap F$ donc $K$ compact fermé

Ainsi $f$ atteint son minimiseur global sur $K$

Donc $\exists {\bar {x}}\in K\quad /\quad \forall x\in K:\quad f(x)\geq f({\bar {x}})$

Soit $f({\bar {x}})=\inf _{x\in K}f(x)$

${\bar {x}}$ est-il un minimiseur global de $f$ sur $K$?

$\forall x\in F\setminus K:\quad ||x||>R\geq R_{1}\quad \Rightarrow \quad f(x)\geq M>f({\bar {x}})$

François Taddéi

Bonjour Asimov4. Comme le dit le bandeau « à sourcer », l'article François Taddéi, que vous avez créé, manque de sources permettant de rendre son contenu vérifiable (voir sur cette page). Je vous invite cordialement à ajouter des sources qui permettront de justifier de son admissibilité. En l'absence de sources, l'article s'expose à une demande de suppression via la procédure des pages à supprimer. Dans tous les cas, la procédure n'est pas irréversible et il est toujours possible de récréer un article qui deviendrait admissible ultérieurement. Cordialement, Linan (d) 26 septembre 2011 à 20:34 (CEST)

Je pense avoir ajouté des références convaincantes. Asimov4 (d) 27 septembre 2011 à 01:04 (CEST)