Discussion utilisateur:Nefbor Udofix/Brouillon

"Le premier exemple d'une fonction continue nulle part dérivable a été donnée par Bolzano en 1830, mais publiée seulement en 1920": il n'a pas été donné mais trouvé. Il est donné quand il a été communiqué.On doit donc lire en fait "Le premier exemple d'une fonction continue nulle part dérivable a été trouvé par Bolzano en 1830, mais publié seulement en 1920".Claudeh5 (d) 6 juin 2009 à 08:44 (CEST)

recopiage du thé d'une ancienne discussion

Bonjour,

Je pense que le sujet des fonctions continues partout et nulle part dérivables sur un intervalle mérite un article à part entière sur Wikipédia. On trouve déjà un article sur le sujet, c'est la célébrissime fonction de Weierstrass.

J'ai donc commencé à travailler sur le sujet, vous pouvez consulter ce que j'ai déjà rédigé. J'attends donc vos remarques, déjà sur la recevabilité de l'article, et en cas de réponse positive, des idées d'améliorations. Merci! Valvino ^(discuter) 7 novembre 2008 à 22:01 (CET)

Bonjour. Dans un certain sens, cet article tombe à point nommé pour régler (dans mon sens) la question de l'article dérivée dont on a déjà discuté supra. Il nous rappelle qu'il n'y a pas d'intuition géométrique qui tienne et qu'il ne s'agit que d'une HYPOTHESE sur l'accroissement.Claudeh5 (d) 11 novembre 2008 à 19:43 (CET)

Salut. J'ai jeté un coup d'œil à la page de Bernard Ycart à laquelle tu te réfères (très bonne référence d'ailleurs). Il me semble que mentionner le mouvement Brownien s'impose, dans ton article (voir la page de Bernard Ycart, précisément) puisque le mB consiste précisément à tirer au sort une fonction continue partout et nulle part dérivable (plus l'importance historique du mB, et de cette propriété du mB).--Chassaing 12 novembre 2008 à 01:00 (CET)

Bonjour à tous. Cette question des fonctions continues nulle part dérivables a semblé et semble encore poser de nombreuses questions. Pourtant elle est absolument naturelle et tient en fait aux fondement même du calcul différentiel. Manifestement, et c'est probablement parce qu'on l'enseigne mal dès le début, que cette question des fonctions continues nulle part dérivables semble étrange. Je vous propose dans les lignes qui suivent une présentation personnelle de la question qui va faire apparaître la vraie nature du calcul différentiel et montrer le caractère absolument naturel des fonctions non dérivables avec l'évidence que celles-ci sont infiniment plus nombreuses que celles qui sont dérivables. On pourra d'ailleurs en profiter pour généraliser la notion de dérivée.

Soit donc une fonction continue f. Cela signifie que pour h assez petit, on a f(x+h)=f(x)+e(x,h) où e(x,h) est l'accroissement supposé nul pour h=0 et tendant vers 0 avec h. La nature du calcul différentiel tient ici, dans l'hypothèse que e(x,h) est proportionnel à h c'est-à-dire qu'il existe pour tout h assez petit un terme A=A(x) indépendant de h tel que e(x,h)=A(x)h^a+ des termes d'un ordre supérieur à h^a. On peut alors appeler A(x) la dérivée (généralisée) d'ordre a de f. Le calcul différentiel n'envisage au début que les dérivées d'ordre au moins 1. On retombe alors sur la définition classique de la dérivée. Il se trouve qu'alors il existe une interprétation géométrique de la notion de dérivée. Fort bien. On connaît la suite. Maintenant, que se passe-t-il si a est inférieur à 1 ? La fonction n'est pas dérivable au sens classique et si cela a lieu en chaque point x, la fonction est nulle part dérivable. Ces fonctions sont donc très nombreuses et il est apparent que l'hypothèse que l'ordre est au moins égal à 1 est une hypothèse très forte, mais absolument pas naturelle. En fait dans l'exposé sont apparues au moins trois catégories de fonctions continues: celles pour lesquelles aucune hypothèse de dérivabilité n'est possible (e(x,h) ne se factorise par h^a pour aucun a>0), les fonctions dérivables au sens généralisé mais non dérivables au sens classique et enfin les fonctions dérivables au sens classique. Mais cette présentation des choses semble un travail inédit...Claudeh5 (d) 12 novembre 2008 à 09:03 (CET)

Bonjour,

Tout d'abord, merci pour ton intérêt pour cet article en cours d'écriture. Je suis d'accord sur un point : le concept de dérivée est souvent mal enseigné au lycée, et un mauvais enseignement peut parfois rester imprimer pour longtemps dans la tête de certains étudiants. Mais que des gens soient troublés par des exemples de fonctions continues nulle part dérivables, tant mieux ! Cela montre qu'ils n'ont pas une attitude passive vis-à-vis des informations qu'ils reçoivent et qu'ils sont doués de raison. Tu afirmes : elle est absolument naturelle et tient en fait aux fondement même du calcul différentiel. J'imagine que tu ne fais pas référence à l'histoire mais à l'apprentissage actuel des mathématiques.

La différentielle de f en x est définie par le développement limité : f(x+h)=f(x)+df(x)(h)+o(h). Pour qu'une fonction soit dérivable en un point, il faut qu'elle soit approximable par une application affine, ce qui n'est pas gagné. Mais, quand tu traces une courbe à la main, cette dernière a l'allure d'une courbe différentiable avec éventuellement des singularités isolées. Le profane imagine facilement une fonction non dérivable en tout point d'un ensemble X avec des points d'accumulation isolés (dit avec un vocabulaire qu'il n'emploiera pas aussi facilement). Mais une fonction partout non dérivable peut-elle être continue partout ? Pas si naturel que ça. Les seuls exemples se définissent comme limites uniformes, que ce soit des séries de fonctions ou des intégrales à paramètres. (Dans le cadre de l'intégrale de Riemann, beaucoup d'intégrales à paramètres apparaissent comme des limites uniformes de fonctions.)

Ta présentation n'a rien de nouveau. La définition de la différentielle trouve un prolongement dans les développements limités. Mais là où tu fais erreur, un développement limité ne commence pas forcément par une fonction puissance. Par exemple, si f est la fonction de Van der Waerden, alors $f(x+h)=f(x)+O(|h|\log |h|)$. De fait, même avec ton commentaire, il pourra sembler étonnant que f est partout non dérivable.

Anecdote : juste après la prépa, je pensais qu'une fonction d'une variable réelle serait partout non dérivable si son graphe était de dimension 1. C'est complètement faux, et on m'avait donné à l'époque l'exemple de la fonction de Van der Waerden (que bien sûr je connaissais - ou croyais connaitre). Juste pour t'indiquer que ce genre de questions est souvent contre-intuitif. Et n'importe qui peut facilement être induit en erreur.

Nefbor Udofix  -  Poukram! 6 juin 2009 à 12:40 (CEST)

Je ne fais pas erreur: j'ai toujours pensé qu'il devait exister un sur-ensemble des réels qui autorise les règles classiques + - * /, qui soit compatible avec la relation d'ordre de R mais qui contienne des surnombres qui apparaissent justement dans les développements en h^a(ln h)^b(ln ln h)^c... et qui fournirait ainsi un surnombre plus grand que a mais plus petit que tout nombre réel supérieur à a... c'est dans ce sens que j'ai utilisé h^a, a étant un surnombre.Claudeh5 (d) 6 juin 2009 à 13:51 (CEST)

Effectivement, j'avais lu trop rapidement ta dernière intervention. Par contre, je crains de ne pas comprendre grand chose à ton histoire de surnombre. Ne serais-tu pas en train de rédéfinir les "ordres de grandeur", utiles pour définir la croissance d'un groupe finiment engendré par exemple ? Nefbor Udofix  -  Poukram! 7 juin 2009 à 00:22 (CEST)

Malheureusement, je ne sais pas de quoi tu parles. Mais si tu as des références pour m'expliquer ce que c'est, ça m'intéresse...Claudeh5 (d) 7 juin 2009 à 08:49 (CEST)