Rayane Saidi 12100073

Le rouleau mathématique en cuir égyptien

Le rouleau mathématique en cuir égyptien (RMCE) est un rouleau en cuir de 25 × 43 cm acheté par Alexander Henry Rhind en 1858. Il a été envoyé au British Museum en 1864, aux côtés du papyrus Rhind, mais il n'a pas été assoupli chimiquement et déroulé avant 1927 (Scott, Hall 1927). Le texte est écrit en caractères hiératique du moyen empire, de droite à gauche. Les chercheurs datent le RMCE du XVIIe siècle avant notre ère.

Contenu mathématique

Ce rouleau en cuir est un outil pour le calcul des fractions égyptiennes. Il contient 26 sommes de fractions unitaires qui équivalent à une autre fraction unitaire. Les sommes sont présentées en deux colonnes, suivies de deux autres colonnes contenant exactement les mêmes sommes.

Le rouleau mathématique en cuir égyptien

Column 1	Column 2	Column 3	Column 4
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$
${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$
${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}$	${\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$
${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}$	${\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$
${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}$	${\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$
${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}$	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$	${\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}$	${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$	${\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}$	${\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}$
${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{15}}$		${\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$		${\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}$
${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$		${\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}$
${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$		${\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}$
${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$		${\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}$
${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$		${\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}$
${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$		${\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}$
${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$		${\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}$
		${\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}$
		${\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}$

Parmi les 26 sommes répertoriées, dix sont des nombres de l'Œil d'Horus : 1/2, 1/4 (deux fois), 1/8 (trois fois), 1/16 (deux fois), 1/32, 1/64, convertis à partir de fractions égyptiennes. Il y a sept autres sommes ayant des dénominateurs pairs convertis à partir de fractions égyptiennes : 1/6 (listé deux fois, mais une fois incorrectement), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 et 1/30. À titre d'exemple, les trois conversions de 1/8 étaient suivies d'un ou deux facteurs d'échelle en tant qu'alternatives :

1/8 x 3/3 = 3/24 = (2 + 1)/24 = 1/12 + 1/24

1/8 x 5/5 = 5/40 = (4 + 1)/40 = 1/10 + 1/40

1/8 x 25/25 = 25/200 = (8 + 17)/200 = 1/25 + (17/200 x 6/6) = 1/25 + 102/1200 = 1/25 + (80 + 16 + 6)/1200 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200

Enfin, il y avait neuf sommes, ayant des dénominateurs impairs, convertis à partir de fractions égyptiennes : 2/3, 1/3 (deux fois), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 et 1/15.

Les examinateurs du British Museum n'ont trouvé aucune introduction ou description expliquant comment ou pourquoi les séries équivalentes de fractions unitaires étaient calculées. Les séries équivalentes de fractions unitaires sont associées aux fractions 1/3, 1/4, 1/8 et 1/16. Il y avait une erreur mineure associée à la série finale de fractions unitaires 1/15. La série 1/15 a été répertoriée comme étant égale à 1/6. Une autre erreur grave était associée à 1/13, un problème que les examinateurs de 1927 n'ont pas tenté de résoudre.

Analyse moderne

Les textes mathématiques originaux ne donnent jamais d'explications sur l'origine des procédures et des formules. Cela est également vrai pour le RMCE. Les chercheurs ont tenté de déduire les techniques que les anciens Égyptiens auraient pu utiliser pour construire à la fois les tables de fractions unitaires du RMCE et les tables 2/n connues du papyrus Rhind et du papyrus d'El-Lahoun. Les deux types de tables étaient utilisés pour aider aux calculs impliquant des fractions et pour la conversion des unités de mesure.[1]

Il a été observé qu'il existe des groupes de décompositions en fractions unitaires dans le RMCE qui sont très similaires. Par exemple, les lignes 5 et 6 se combinent facilement dans l'équation 1/3 + 1/6 = 1/2. Il est facile de dériver les lignes 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 et 26 en divisant cette équation respectivement par 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 et 32.[2]

Certains des problèmes pourraient être résolus à l'aide d'un algorithme qui implique la multiplication du numérateur et du dénominateur par le même terme, suivi de la réduction ultérieure de l'équation résultante :

${\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}$

Cette méthode conduit à une solution pour la fraction 1/8 telle qu'elle apparaît dans le RMCE en utilisant N=25 (en utilisant la notation mathématique moderne) :

$1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)$

$=1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200$

Conclusion

Le RMCE est considéré comme un document de test pour les apprentis scribes depuis 1927, année où le texte a été déroulé au British Museum. Le scribe pratiquait les conversions de nombres rationnels 1/p et 1/pq en séries alternatives de fractions unitaires. En lisant les documents mathématiques du Moyen Empire disponibles, notamment la table 2/n du Papyrus Mathématique de Rhind, les étudiants modernes de l'arithmétique égyptienne peuvent voir que les scribes formés amélioraient les conversions de 2/n et n/p en séries de fractions unitaires concises en appliquant des méthodes algorithmiques et non algorithmiques