Décomposition de Schur

Cet article est une ébauche concernant l’algèbre.

En algèbre linéaire, une décomposition de Schur (nommée après le mathématicien Issai Schur) d'une matrice carrée complexe M est une décomposition de la forme

M = UA U *

où U est une matrice unitaire (U*U = I) et A une matrice triangulaire supérieure.

Démonstration

On peut écrire la décomposition de Schur en termes d'applications linéaires :

Soient $E$ un $ℂ$ -espace vectoriel de dimension $n$ muni d'un produit scalaire et $v$ un endomorphisme sur $E$ , alors $\exists (f_{1}, ..., f_{n})$ une base orthonormée de $E$ et une famille $(φ_{i k})_{1 \leq i, k \leq n} \in ℂ$ telle que $\forall i, v (f_{i}) = \sum_{k = i}^{n} φ_{i k} f_{k}$ .

Dans le cas où $v$ est l'application nulle, l'énoncé est directement vérifié, on peut donc se contenter de traiter le cas où $v$ est différente de l'application nulle. On démontre par récurrence forte sur la dimension $n \geq 1$ de $E$ le résultat énoncé. L'initialisation est triviale, pour l'hérédité on considère deux cas différents :

Si la matrice $M_{v}$ associée à $v$ dans une base quelconque est diagonalisable, alors on peut choisir $f_{n + 1}$ un vecteur propre normé de $M_{v}$ . On pose $F = Vect (f_{n + 1})^{⊥}$ et on considère l'application linéaire $\tilde{v} = π_{F} \circ v |_{F}$ où $π_{F}$ est le projecteur orthogonal sur $F$ et $v |_{F}$ la restriction de $v$ à $F$ . Comme $\tilde{v}$ est un endomorphisme de l'espace vectoriel $F$ qui est de dimension $n$ , l'hypothèse de récurrence assure l'existence d'une base orthonormée $(f_{1}, ..., f_{n})$ de $F$ dans laquelle la matrice $M_{\tilde{v}}$ associée à $\tilde{v}$ est triangulaire supérieure. Il est alors clair que $(f_{1}, ..., f_{n}, f_{n + 1})$ forme une base orthonormée dans laquelle la matrice $M_{v}$ associée à $v$ est triangulaire supérieure.

Si la matrice $M_{v}$ associée à $v$ dans une base quelconque n'est pas diagonalisable on a l'inégalité $0 < rang (v) < n + 1$ . On pose alors $F = ker (v)^{C}$ et on considère l'application linéaire $\tilde{v} = π_{F} \circ v |_{F}$ où $π_{F}$ est le projecteur orthogonal sur $F$ et $v |_{F}$ la restriction de $v$ à $F$ . Comme $1 \leq dim (F) = rang (v) < n + 1$ on peut utiliser l'hypothèse de récurrence qui assure l'existence d'une base orthonormée $(f_{1}, ..., f_{dim (F)})$ de $F$ dans laquelle la matrice $M_{\tilde{v}}$ associée à $\tilde{v}$ est triangulaire supérieure. On complète cette base en une base orthonormée $(f_{1}, ..., f_{dim (F)}, f_{dim (F) + 1}, ..., f_{n + 1})$ de $E$ . Comme $Vect (f_{dim (F) + 1}, ..., f_{n + 1}) = ker (v)$ , il est clair que la matrice $M_{v}$ associée à $v$ est triangulaire supérieure dans cette même base. Cela termine la récurrence.

Propriétés

Il existe une telle décomposition (non unique en général) pour toute matrice carrée complexe M^[1]^,^[2].

A étant semblable à M, elle a les mêmes valeurs propres. Et A étant triangulaire, les valeurs propres se trouvent sur sa diagonale.

Puisque A = U*MU, si M est normale (M*M = MM*) alors A aussi donc (comme elle est de plus triangulaire) elle est diagonale^[3]. En particulier, si M est hermitienne (M* = M) alors A est diagonale réelle.

Cas réel

Si une matrice réelle M est trigonalisable, elle possède une décomposition de la même forme avec de plus U et A réelles, autrement dit

M = PA t P

avec P orthogonale et A réelle et triangulaire supérieure.

Si M n'est pas trigonalisable, elle a « presque » une décomposition de cette forme (avec P orthogonale et A réelle) mais où A est seulement triangulaire par blocs, avec des blocs diagonaux de polynôme caractéristique irréductible, donc d’ordre 1 ou 2.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Schur decomposition » (voir la liste des auteurs).

↑ (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990, 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), p. 79 et s.
↑ (en) Gene H. Golub et Charles F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, 1996, 3^e éd., 694 p. (ISBN 978-0-8018-5414-9, lire en ligne), p. 313.
↑ Golub et Van Loan 1996, p. 314.

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[1] (en) Roger A. Horn et Charles R. Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1990, 561 p. (ISBN 978-0-521-38632-6, lire en ligne), p. 79 et s.

[2] (en) Gene H. Golub et Charles F. Van Loan, Matrix Computations, Johns Hopkins University Press, 1996, 3^e éd., 694 p. (ISBN 978-0-8018-5414-9, lire en ligne), p. 313.

[3] Golub et Van Loan 1996, p. 314.

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