Déterminant de Fredholm

En mathématiques, et plus particulièrement en analyse fonctionnelle, le déterminant de Fredholm est une généralisation de la notion de déterminant à certains opérateurs à noyaux (continus) dans des espaces de Banach. Aux notations et langage près, l'idée a été introduite par Fredholm dans son étude de certaines équations intégrales^[1]. Elle a ensuite été généralisée à d'autres opérateurs, notamment aux opérateurs nucléaires (en) ^[2].

Soit $I = [a; b]$ un segment de $ℝ$ . Dans la suite, $ℬ$ désigne l'espace $C (I)$ des fonctions continues sur $I$ ou l'espace $L^{p} (I)$ des fonctions p-intégrables sur $I$ .

Soit $k : [a; b] \times [a; b] \to ℂ$ une fonction continue. On considère $K : ℬ \to ℬ$ l'opérateur de noyau $k$ :

$\forall x \in ℬ, \forall t \in [a; b], K x (t) = \int_{a}^{b} k (t, s) x (s) d s$

Heuristique

On se place sur $[0; 1]$ et s'intéresse à l'équation fonctionnelle suivante, d'inconnue $ϕ$ $ϕ (x) + \int_{0}^{1} K (x, t) ϕ (t) d t = f (x) (*) .$

On peut essayer de discrétiser cette équation :

en l'évaluant sur une famille de points $(x_{l})_{0 \leq l \leq n - 1}$ équirépartis dans l'intervalle $[0; 1]$ : $x_{k} = \frac{k}{n}, 1 \leq l \leq n - 1$ .
en approchant l'intégrale par une somme de Riemann : $\int_{0}^{1} k (x_{i}, t) ϕ (t) d t \approx \sum_{j = 0}^{n - 1} \frac{1}{n} k (x_{i}, x_{j}) ϕ (x_{j})$ .

On obtient alors, pour chaque $n \in ℕ$ , un système linéaire $(E_{n})$ d'équations $(E_{n}) : {\begin{matrix} ϕ (x_{1}) + \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} k (x_{1}, x_{j}) ϕ (x_{j}) = f (x_{1}) \\ \dots \\ ϕ (x_{i}) + \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} k (x_{i}, x_{j}) ϕ (x_{j}) = f (x_{i}) \\ \dots \\ ϕ (x_{n}) + \frac{1}{n} \sum_{j = 0}^{n - 1} k (x_{n}, x_{j}) ϕ (x_{j}) = f (x_{n}) \end{matrix}$

où les inconnues sont les $(ϕ (x_{l}))_{0 \leq l \leq n - 1}$ . Heuristiquement on peut espérer comprendre $(*)$ en analysant le comportement de $(E_{n})$ dans la limite $n \to + \infty$ .

Or on montre^[3] que le déterminant $d_{n}$ du système linéaire homogène associé à $(E_{n})$ vaut :

$\begin{matrix} d_{n} & = | \begin{matrix} 1 + \frac{1}{n} k (x_{1}, x_{1}) & \frac{1}{n} k (x_{1}, x_{2}) & \dots & \frac{1}{n} k (x_{1}, x_{n}) \\ \frac{1}{n} k (x_{2}, x_{1}) & 1 + \frac{1}{n} k (x_{2}, x_{2}) & \dots & \frac{1}{n} k (x_{i}, x_{n}) \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \frac{1}{n} k (x_{n}, x_{1}) & \dots & \dots & 1 + \frac{1}{n} k (x_{n}, x_{n}) \end{matrix} | \\ = 1 + \frac{1}{n} S_{1} + \frac{1}{n^{2}} S_{2} + \dots + \frac{1}{n^{n}} S_{n} \end{matrix}$

où $S_{m}$ est la somme des mineurs principaux d'ordre $m$ de $d_{n}$ . Comme de plus

$\frac{1}{n^{m}} S_{m} \to_{n \to + \infty}^{} \frac{1}{m!} \int_{[0; 1]^{m}}^{} | \begin{matrix} k (x_{1}, x_{1}) & \dots & k (x_{1}, x_{m}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k (x_{m}, x_{1}) & \dots & k (x_{m}, x_{m}) \end{matrix} | d x_{1} \dots d x_{m}$

on est donc amené à considérer la série "limite des $d_{n}$ " : $D := 1 + \sum_{k = 1}^{+ \infty} \frac{1}{k!} \int_{[0; 1]^{k}} | \begin{matrix} k (x_{1}, x_{1}) & \dots & k (x_{1}, x_{m}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k (x_{m}, x_{1}) & \dots & k (x_{m}, x_{m}) \end{matrix} | d x_{1} \dots d x_{m}$

C'est la définition de Fredholm du déterminant de l'opérateur $I + K$ . Bien que Fredholm, dans son article de 1903, ne précise pas vraiment comment il en est venu à cette définition, on peut supposer que c'est essentiellement cette heuristique qui l'y a conduit^[4].

Déterminant de Fredholm

La série entière $\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!} \int_{I^{n}} det (\begin{matrix} k (x_{1}, x_{1}) & \dots & k (x_{1}, x_{n}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k (x_{n}, x_{1}) & \dots & k (x_{n}, x_{n}) \end{matrix}) d x_{1} ... d x_{n}$ a un rayon de convergence infini. Cela peut se démontrer en utilisant l'inégalité d'Hadamard (en) pour majorer le déterminant.

Pour tout $z \in ℂ$ , on appelle déterminant de Fredholm de l'opérateur $I + z K$ la quantité $det (I + z K) := 1 + \sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{z^{n}}{n!} \int_{I^{n}} det (\begin{matrix} k (x_{1}, x_{1}) & \dots & k (x_{1}, x_{n}) \\ ⋮ & ⋱ & ⋮ \\ k (x_{n}, x_{1}) & \dots & k (x_{n}, x_{n}) \end{matrix}) d x_{1} ... d x_{n}$ La fonction $z \mapsto det (I + z K)$ est alors analytique sur $ℂ$ . En particulier, ses zéros sont isolés et de multiplicités finies.

Cas des opérateurs de rang fini

Dans cette section, on suppose que $K$ est de rang fini.

Lien avec les valeurs propres

Soient $λ_{1} (K), \dots, λ_{n} (K)$ les valeurs propres de $K$ comptées avec multiplicités. On a alors la formule du produit^[5] :

$det (1 + K) = \prod_{i = 1}^{n} (1 + λ_{i} (K)) .$

Lien avec la trace

Comme $K$ et ses puissances sont de rang fini, ce sont des opérateurs à trace.

Soit $z \in ℂ$ . Pour $| z |$ assez petit, on a^[5] :

$det (1 + z K) = \exp (\sum_{n = 1}^{+ \infty} \frac{(- 1)^{n + 1}}{n} t r (K^{n}) z^{n})$

Déterminant et inversibilité

Théorème (Fredholm)^[1] — Soit $z_{0} \in ℂ$ . Les conditions suivantes sont équivalentes :

L'opérateur $I + z_{0} K$ est inversible;
$det (I + z_{0} K) \neq 0$ .

De plus, lorsque $det (I + z_{0} K) = 0$ , on a :

$d i m k e r (I + z_{0} K) = n_{0}$ ;
$d i m c o k e r (I + z_{0} K) = n_{0}$ ;

où $n_{0}$ est la multiplicité de $z_{0}$ comme zéro de $z \mapsto det (I + z K)$ .

Remarques :

La situation est donc tout à fait analogue à ce qui se passe en dimension finie;

Pour tout $z_{0} \in ℂ$ , l'indice de l'opérateur $I + z_{0} K$ est donc nul.

Notes et références

1 2 Ivar Fredholm, « Sur une classe d’équations fonctionnelles », Acta Mathematica, vol. 27,‎ 1903, p. 365–390 (ISSN 0001-5962 et 1871-2509, DOI 10.1007/BF02421317, lire en ligne, consulté le 1^er août 2018)
↑ Alexander Grothendieck, « La théorie de Fredholm », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 79,‎ 1956, p. 319–384 (ISSN 0037-9484 et 2102-622X, DOI 10.24033/bsmf.1476, lire en ligne, consulté le 6 août 2018)
↑ (en) Francesco Giacomo Tricomi (1897-1978), Integral equations, New York, Dover Publications, 1985, 238 p. (ISBN 0-486-64828-1 et 9780486648286, OCLC 11469824, lire en ligne), p. 66-68
↑ Dieudonné, Jean, 1906-1992., History of functional analysis, North-Holland Pub. Co., 1981 (ISBN 0-444-86148-3 et 9780444861481, OCLC 7206750, lire en ligne), p. 99
1 2 (en) Israel Gohlberg, Nahum Krupnik et Seymour Goldberg, Traces and determinants of linear operators, Birkhäuser Verlag, 2000 (ISBN 3-7643-6177-8 et 9783764361778, OCLC 43607291, lire en ligne), chap. 1, p. 7-10

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[:0-1] 1 2 Ivar Fredholm, « Sur une classe d’équations fonctionnelles », Acta Mathematica, vol. 27,‎ 1903, p. 365–390 (ISSN 0001-5962 et 1871-2509, DOI 10.1007/BF02421317, lire en ligne, consulté le 1^er août 2018)

[2] Alexander Grothendieck, « La théorie de Fredholm », Bulletin de la Société mathématique de France, vol. 79,‎ 1956, p. 319–384 (ISSN 0037-9484 et 2102-622X, DOI 10.24033/bsmf.1476, lire en ligne, consulté le 6 août 2018)

[3] (en) Francesco Giacomo Tricomi (1897-1978), Integral equations, New York, Dover Publications, 1985, 238 p. (ISBN 0-486-64828-1 et 9780486648286, OCLC 11469824, lire en ligne), p. 66-68

[4] Dieudonné, Jean, 1906-1992., History of functional analysis, North-Holland Pub. Co., 1981 (ISBN 0-444-86148-3 et 9780444861481, OCLC 7206750, lire en ligne), p. 99

[:1-5] 1 2 (en) Israel Gohlberg, Nahum Krupnik et Seymour Goldberg, Traces and determinants of linear operators, Birkhäuser Verlag, 2000 (ISBN 3-7643-6177-8 et 9783764361778, OCLC 43607291, lire en ligne), chap. 1, p. 7-10

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