Rayon de convergence

Cet article est une ébauche concernant l’analyse.

Le rayon de convergence d'une série entière est le nombre réel positif ou $+\infty$ égal à la borne supérieure de l'ensemble des modules des nombres complexes où la série converge (au sens classique de la convergence simple):

R = sup {| z | : z \in ℂ, \sum a_{n} z^{n} converge simplement} \in [0, + \infty] = \overline{ℝ^{+}} .

Propriétés

Si $R$ est le rayon de convergence d'une série entière, alors la série est absolument convergente sur le disque ouvert $D(0, R)$ de centre $0$ et de rayon $R$ . Ce disque est appelé disque de convergence. Cette convergence absolue entraine ce qui est parfois qualifié de convergence inconditionnelle : la valeur de la somme en tout point de ce disque ne dépend pas de l'ordre des termes. Par exemple, on a :

$\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n} z^{2 n} + \sum_{n = 0}^{\infty} a_{2 n + 1} z^{2 n + 1}$ ;
$\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{\infty} a_{n} b_{k} z^{n + k} = (\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}) (\sum_{k = 0}^{\infty} b_{k} z^{k}) \forall | z | < min (R_{1}, R_{2})$ , où $R_{1}$ et $R_{2}$ sont les rayons de convergence des deux séries entières (voir Produit de Cauchy).

Si la série entière $\sum_{n = 0}^{\infty} a_{n} z^{n}$ a pour rayon de convergence $R$ , alors :

la convergence est même normale (donc uniforme) sur tout compact inclus dans $D(0, R)$ ;
pour tout complexe $z$ tel que $| z | > R$ , la série diverge grossièrement ;
pour tout complexe $z$ tel que $| z | = R$ , la série peut soit diverger, soit converger ;
l'inverse du rayon $R$ est donné par le théorème de Cauchy-Hadamard : $\frac{1}{R} = \underset{n \to \infty}{lim sup} \sqrt[n]{| a_{n} |} \leq \underset{n \to \infty}{lim sup} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} |$ , où $lim sup$ désigne la limite supérieure ;
si $R$ est non nul, alors la somme $f$ de la série entière est une fonction holomorphe sur $D(0, R)$ , où l'on a $f^{(k)} (z) = \sum_{n = k}^{\infty} \frac{n!}{(n - k)!} a_{n} z^{n - k}$ ;
si le rayon $R$ est infini, alors la série entière est appelée fonction entière.

Liens externes

Notices dans des dictionnaires ou encyclopédies généralistes :

Portail de l'analyse