Empilement de cercles dans un triangle équilatéral

L'empilement de cercles dans un triangle équilatéral est un problème d'empilement bidimensionnel dont l'objectif est d'empiler des cercles unités identiques de nombre $n$ dans le triangle équilatéral le plus petit possible.

Des solutions optimales sont connues pour n < 13 et pour tout nombre triangulaire de cercle, et des conjectures sont disponibles pour n < 28^[1]^,^[2]^,^[3].

Une conjecture de Paul Erdős et Norman Oler indique que si $n$ est un nombre triangulaire alors les empilement optimaux de $n - 1$ et de $n$ cercles ont la même longueur de côté : c'est, selon la conjecture, un empilement optimal pour $n - 1$ cercles peut être trouvé en supprimant un seul cercle de l'empilement hexagonal optimal de $n$ cercles^[4]. On sait maintenant que cette conjecture est vraie pour $n \leq 15$ ^[5].

Voici les solutions minimales pour la longueur du côté du triangle^[1] :

Nombre de cercles $n$	Longueur du côté du triangle	Figure
1	$2{\sqrt {3}}\approx 3,464...$
2	$2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$
3	$2+2{\sqrt {3}}\approx 5,464...$
4	$4{\sqrt {3}}\approx 6,928...$
5	$4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$
6	$4+2{\sqrt {3}}\approx 7,464...$
7	$2+4{\sqrt {3}}\approx 8,928...$
8	$2+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {33}}\approx 9,293...$
9	$6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$
10	$6+2{\sqrt {3}}\approx 9,464...$
11	$4+2{\sqrt {3}}+{\dfrac {4}{3}}{\sqrt {6}}\approx 10,730...$
12	$4+4{\sqrt {3}}\approx 10,928...$
13	$4+{\dfrac {10}{3}}{\sqrt {3}}+{\dfrac {2}{3}}{\sqrt {6}}\approx 11,406...$
14	$8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$
15	$8+2{\sqrt {3}}\approx 11,464...$

Un problème étroitement lié est de couvrir le triangle équilatéral avec un nombre fixe de cercles égaux, ayant un rayon aussi petit que possible^[6].

Voir aussi

Problème de Malfatti, une construction donnant la solution optimale pour trois cercles dans un triangle équilatéral.

Références

↑ ^{a et b} (en) Hans Melissen, « Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle », The American Mathematical Monthly, vol. 100, n^o 10,‎ 1993, p. 916–925 (DOI 10.2307/2324212, MR 1252928).
↑ (en) J.B.M. Melissen et P.C. Schuur, « Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle », Discrete Mathematics, vol. 145, n^os 1-3,‎ 1995, p. 333–342 (DOI 10.1016/0012-365X(95)90139-C, MR 1356610).
↑ (en) R.L. Graham et B.D. Lubachevsky, « Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 2,‎ 1995, Article 1, approx. 39 pp. (electronic) (MR 1309122, lire en ligne).
↑ (en) Norman Oler, « A finite packing problem », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 4,‎ 1961, p. 153–155 (DOI 10.4153/CMB-1961-018-7, MR 0133065).
↑ Charles Payan, « Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler », Discrete Mathematics, vol. 165/166,‎ 1997, p. 555–565 (DOI 10.1016/S0012-365X(96)00201-4, MR 1439300).
↑ (en) Kari J. Nurmela, « Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles », Experimental Mathematics, vol. 9, n^o 2,‎ 2000, p. 241–250 (DOI 10.1080/10586458.2000.10504649, MR 1780209, lire en ligne).

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[Melissen-1] {a et b} (en) Hans Melissen, « Densest packings of congruent circles in an equilateral triangle », The American Mathematical Monthly, vol. 100, n^o 10,‎ 1993, p. 916–925 (DOI 10.2307/2324212, MR 1252928).

[2] (en) J.B.M. Melissen et P.C. Schuur, « Packing 16, 17 or 18 circles in an equilateral triangle », Discrete Mathematics, vol. 145, n^os 1-3,‎ 1995, p. 333–342 (DOI 10.1016/0012-365X(95)90139-C, MR 1356610).

[3] (en) R.L. Graham et B.D. Lubachevsky, « Dense packings of equal disks in an equilateral triangle: from 22 to 34 and beyond », Electronic Journal of Combinatorics, vol. 2,‎ 1995, Article 1, approx. 39 pp. (electronic) (MR 1309122, lire en ligne).

[4] (en) Norman Oler, « A finite packing problem », Canadian Mathematical Bulletin, vol. 4,‎ 1961, p. 153–155 (DOI 10.4153/CMB-1961-018-7, MR 0133065).

[5] Charles Payan, « Empilement de cercles égaux dans un triangle équilatéral. À propos d'une conjecture d'Erdős-Oler », Discrete Mathematics, vol. 165/166,‎ 1997, p. 555–565 (DOI 10.1016/S0012-365X(96)00201-4, MR 1439300).

[6] (en) Kari J. Nurmela, « Conjecturally optimal coverings of an equilateral triangle with up to 36 equal circles », Experimental Mathematics, vol. 9, n^o 2,‎ 2000, p. 241–250 (DOI 10.1080/10586458.2000.10504649, MR 1780209, lire en ligne).

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