Ensemble Fσ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble F_σ (lire « F sigma ») est une union dénombrable d'ensembles fermés.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient du français, le F désignant un fermé et le σ désignant une somme ou une union. La notation F_σ est équivalente à celle de $\Sigma _{2}^{0}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

Propriétés

• L'union dénombrable d'ensembles F_σ est un ensemble F_σ et l'intersection finie d'ensembles F_σ est un ensemble F_σ.

• Le complémentaire d'un ensemble F_σ est un ensemble G_δ.

Exemples

• Chaque ensemble fermé est un ensemble F_σ.

• L'ensemble $\mathbb {Q}$ des rationnels est un ensemble F_σ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En revanche, l'ensemble $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ des irrationnels n'est pas un ensemble F_σ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle.

• Dans un espace métrisable, chaque ensemble ouvert est un ensemble F_σ.

• Dans un espace T₁, chaque ensemble dénombrable est un F_σ car un point ${x}$ constitue un ensemble fermé.

• L'ensemble $A$ de tous les points $(x,y)$ du plan cartésien tels que $x/y$ est rationnel est un ensemble F_σ parce qu'il peut s'exprimer comme l'union dénombrable de toutes les droites passant par l'origine avec une pente rationnelle :

$A=\bigcup _{r\in \mathbb {Q} }\{(ry,y)\mid y\in \mathbb {R} \},$ où $\mathbb {Q}$ est l'ensemble des rationnels, qui est un ensemble dénombrable.

Voir aussi

• Ensemble G_δ — la notion duale d'un ensemble F_σ
• Hiérarchie de Borel
• P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble F_σ est fermé