Ensemble Gδ

En mathématiques et, en particulier, en topologie, un ensemble G_δ (lire « G delta ») est une intersection dénombrable d'ensembles ouverts.

La notation introduite par Felix Hausdorff vient de l'allemand, le G désignant un ouvert (Gebiet) et le δ désignant une intersection (Durchschnitt). La notation G_δ est équivalente à celle de $\Pi _{2}^{0}$ utilisée dans la hiérarchie de Borel.

Propriétés

• L'intersection dénombrable d'ensembles G_δ est un ensemble G_δ et l'union finie d'ensembles G_δ est un ensemble G_δ.

• Le complémentaire d'un ensemble G_δ est un ensemble F_σ.

Exemples

• Chaque ensemble ouvert est un ensemble G_δ.

• L'ensemble $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ des irrationnels est un ensemble G_δ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, l'ensemble des irrationnels peut s'écrire comme l'intersection dénombrable des ouverts $\mathbb {R} \setminus \{r\}$, où $r$ est un rationnel. En revanche, l'ensemble $\mathbb {Q}$ des rationnels n'est pas un ensemble G_δ dans l'ensemble $\mathbb {R}$ des réels muni de sa topologie usuelle. En effet, si c'était le cas, tous les ouverts dont $\mathbb {Q}$ est l'intersection seraient denses dans $\mathbb {R}$ (car ils contiennent tous $\mathbb {Q}$ qui est dense dans $\mathbb {R}$). $\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q}$ est lui-même intersection dénombrable d'ouverts denses, donc l'intersection vide $(\mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} )\cap \mathbb {Q}$ serait aussi intersection dénombrable d'ouverts denses. On obtiendrait une contradiction avec la propriété de Baire de $\mathbb {R}$.
• Dans un espace métrisable, chaque ensemble fermé est un ensemble G_δ.

Voir aussi

• Ensemble F_σ — la notion duale d'un ensemble G_δ
• Hiérarchie de Borel
• P-espace (en), tout espace au sens de Gillman–Henriksen ayant la propriété que tout ensemble G_δ est ouvert