Ensemble de sous-niveau
En mathématiques, en particulier en analyse, en analyse convexe, en optimisation et en topologie différentielle (théorie de Morse), un ensemble de sous-niveau d'une fonction définie sur un ensemble à valeurs dans la droite réelle achevée est l'ensemble des points où elle prend une valeur inférieure à un niveau donné :
Un ensemble de sous-niveau particulier est l'ensemble arg min des minimiseurs de .
Propriétés
modifier- Une fonction définie sur un espace topologique à valeurs dans est fermée (on dit aussi semi-continue inférieurement) si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveaux sont fermés.
- Une fonction est quasi-convexe si, et seulement si, tous ses ensembles de sous-niveau sont convexes.
Bibliographie
modifier- (en) J. M. Borwein et A. S. Lewis, Convex Analysis and Nonlinear Optimization, Springer, New York, 2000
- (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty et Claude Lemaréchal, Fundamentals of Convex Analysis, Springer, (1re éd. 2001), 259 p. (ISBN 978-3-540-42205-1, lire en ligne)
- (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton, New Jersey, Princeton University Press, coll. « Princeton Mathematical Series » (no 28), (lire en ligne)
