En analyse fonctionnelle et en analyse convexe, le[1] polaire d'une partie d'un espace localement convexe est un convexe fermé de son dual topologique, contenant l'origine et ayant une « relation de dualité » avec . Bien qu'il soit usuellement défini dans le cadre bien plus général de deux espaces en dualité[2], nous nous limiterons dans cet article au cas d'un espace euclidien, qui s'identifie à son dual.

Énonçons quelques propriétés de cette relation de dualité, de manière à donner une idée de sa nature :

  • le polaire du polaire, appelé le bipolaire, d'un convexe fermé contenant l'origine est égal à  ;
  • le polaire d'un polyèdre convexe contenant l'origine est un autre polyèdre convexe contenant l'origine et les sommets (resp. les faces) du premier sont en bijection avec les faces (resp. les sommets) du second ;
  • le polaire de la boule unité fermée de la norme ℓp de ℝn est la boule unité fermée de la norme ℓq, avec 1/p + 1/q = 1.

En géométrie, lorsque est un polyèdre convexe contenant l'origine, on appelle parfois le dual de , mais en analyse convexe cette appellation entre en conflit avec celle du cône dual , dont la signification est tout autre (sauf si est un cône, auquel cas ).

Définitions

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Le polaire [3] d'une partie d'un espace euclidien est défini par[4]

désigne le produit scalaire de .

Exemples
  • Le polaire d'un cône est égal à son cône dual négatif ; en particulier, .
  • Les boules unité fermées des normes ℓp et ℓq, avec 1/p + 1/q = 1, sont polaires l'une de l'autre ; en particulier (cas p = q = 2), la boule unité fermée de est son propre polaire.
  • Dans le plan euclidien, le polaire de la bande est la demi-droite .

Le bipolaire d'une partie de est le polaire de son polaire. On le note

Propriétés

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On désigne ci-dessous l'enveloppe convexe de par et son enveloppe convexe fermée par .

Propriétés du polaire

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On peut voir comme une intersection de demi-espaces fermés de , contenant l'origine :

Ceci conduit à la première propriété ci-dessous.

Propriétés du polaire — Soient un espace euclidien, , et des parties de , une famille non vide de parties de . Alors :

  • est un convexe fermé contenant l'origine ;
  • et plus précisément :  ;
  • si , alors  ;
  •  ;
  • si, et seulement si, est la boule unité fermée de .

On peut aussi écrire comme suit :

désigne la conjuguée de la fonction indicatrice de l'ensemble .

Propriétés du bipolaire

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Soit une partie d'un espace euclidien. Alors, .

Par conséquent, si, et seulement si, est un convexe fermé contenant l'origine.

Bornitude

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Il n'y a pas d'équivalence entre la bornitude de et celle de . Par exemple, si , qui est borné dans , , n'est pas borné. En réalité, comme le montre le résultat suivant, la bornitude de est équivalente au fait que contient une petite boule centrée en zéro.

Bornitude — Soit une partie de contenant et soit . Alors

La réciproque de la dernière implication a lieu si est convexe.

La réciproque de la dernière implication n'est pas nécessairement vérifiée si n'est pas convexe. Par exemple, si , est borné, alors que ne contient pas de boule.

Exemple

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Polaire d'un polyèdre — Si est un polyèdre d'un espace euclidien, alors est un polyèdre convexe.

En effet, puisque a même polaire que , on peut toujours se ramener au cas où ce polyèdre est convexe et contient .

Puisque est alors un polyèdre convexe, son indicatrice est une fonction convexe polyédrique, donc la fonction conjuguée également, si bien que est polyédrique, comme ensemble de sous-niveau de .

Plus explicitement : (polyèdre convexe contenant ) peut s'écrire sous la forme

et sont des ensembles d'indices disjoints et finis, les points pour , les directions pour , et désigne l'enveloppe conique (convexe pointée). Le polaire de est le polyèdre convexe

Annexes

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  1. On utilise le masculin pour polaire parce que l'on fait référence à un ensemble. Pour la définition de la (droite) polaire, voir « Pôle et polaire ».
  2. Grothendieck 1955 ; Bourbaki 1981 ; Aliprantis et Border 2007.
  3. Dans ce contexte, pour éviter l'éventuelle confusion entre polaire (cercle en exposant) et intérieur (cercle suscrit), l'intérieur d'une partie est noté .
  4. C'est la définition donnée par Rockafellar 1970, p. 125 et par Korte et Vygen 2010, p. 95. Dans le cadre plus général de deux espaces en dualité, ≤ 1 est remplacé par ≥ –1 dans Bourbaki 1981, tandis que Grothendieck 1955 utilisait une définition de Bourbaki antérieure (Ferrier 2011, p. 33) et différente, qui dans notre cas euclidien s'écrit :
    .
    Aliprantis et Border 2007 notent eux aussi cet ensemble (« absolute polar »), et notent (« one-sided polar ») l'ensemble que nous notons . Avec leurs notations, on a donc .

Article connexe

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Volume de Mahler (en)

Bibliographie

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