Espace de Schwartz
En analyse mathématique, l'espace de Schwartz est l'espace des fonctions déclinantes (c'est-à-dire des fonctions indéfiniment dérivables à décroissance rapide, ainsi que leurs dérivées de tous ordres). Le dual de cet espace est l'espace des distributions tempérées. Les espaces et jouent un rôle essentiel dans la théorie de la transformée de Fourier.
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Définition
modifierUne fonction f fait partie de l'espace lorsqu'elle est indéfiniment dérivable, et si f et toutes ses dérivées sont à décroissance rapide, c'est-à-dire que leur produit par une fonction polynomiale quelconque est borné à l'infini. Les fonctions appartenant à sont dites déclinantes.
Pour deux multi-indices , on définit les semi-normes par
où est la dérivée d'ordre de f. Alors, l'espace de Schwartz peut être décrit comme
- .
S'il n'y a pas d'ambiguïté, l'espace peut être simplement représenté par la lettre .
Propriétés
modifierTopologie
modifierL'espace de Schwartz peut être muni d'une topologie, la topologie initiale associée à la famille de semi-normes , équivalente à celle associée par la famille filtrante de semi-normes définie par :
L'espace de Schwartz est, muni de cette topologie, un espace de Fréchet. Étant défini par une famille filtrante dénombrable de semi-normes, il est en effet un espace localement convexe, séparé, métrisable, et on montre en outre qu'il est complet.
La convergence d'une suite de se définit donc de la manière suivante. Une suite de fonctions converge dans vers une fonction si et si
Son dual topologique est l'espace des distributions tempérées .
Exemples
modifier- L'espace contient l'espace des fonctions C∞ à support compact. Cet espace, aussi noté , est dense dans au sens de la convergence (forte) définie ci-dessus.
- Il contient également d'autres éléments comme les fonctions de la forme produit d'un polynôme et d'une gaussienne :
- pour tout multi-indice α et tout réel .
- L'espace est un sous-espace vectoriel des différents espaces Lp pour 1 ≤ p ≤ +∞. Il est d'ailleurs dense dans chacun de ces ensembles, hormis L∞. En effet, le complété de pour la norme est l'espace des fonctions continues nulles à l'infini.
Opérations sur l'espace de Schwartz
modifier- L'espace est stable par addition interne et par dérivation, et ces opérations définissent des opérateurs continus.
- L'espace est stable par multiplication interne, ou même par multiplication par toute fonction de En particulier, il est stable par multiplication par une fonction polynomiale. Pour toute fonction de , l'opérateur défini par est continu de dans lui-même.
On définit l'espace des multiplicateurs de comme le sous-ensemble des fonctions de dont toutes les dérivées sont à croissance polynomiale, i.e.
On appelle l'espace des fonctions indéfiniment dérivables à croissance lente.
- La transformation de Fourier induit un automorphisme topologique de . Cet automorphisme est donné paroù L'automorphisme inverse est donné parLe théorème de Plancherel-Parseval dit que si l'on munit de la structure préhilbertienne induite par la transformation de Fourier est un opérateur unitaire de dans lui-même.
- La classe de Schwartz est absorbante pour le produit de convolution avec : pour toute distribution à support compact et fonction de Schwartz on a
- Plus généralement, on note l'ensemble des convoleurs de c'est-à-dire l'ensemble des distributions telles que envoie continûment dans Cet ensemble est un sous-espace vectoriel de (c'est-à-dire de l'espace des distributions tempérées) qui contient les distributions à support compact et les fonctions localement intégrables à décroissance rapide. C'est pourquoi on appelle l'espace des distributions à décroissance rapide. Muni du produit de convolution, est de plus une algèbre associative, commutative et unifère sur laquelle et sont des modules unitaires.
Bibliographie
modifier- (en) Harish-Chandra, « Discrete series for semisimple Lie groups. II. Explicit determination of the characters », Acta Math., vol. 116, , p. 1-111
- Laurent Schwartz, « Théorie des distributions et transformation de Fourier », Annales de l'université de Grenoble, vol. 23, 1947-1948, p. 7-24 (lire en ligne)
- Laurent Schwartz, Théorie des distributions, Paris, Hermann, , 418 p. (ISBN 2-7056-5551-4)
- François Golse, Distributions, analyse de Fourier, équations aux dérivées partielles, École polytechnique, 2012, polycopié de cours
Liens externes
modifier- (en) Eric W. Weisstein, « Schwartz Function », sur MathWorld
- (en) Eric W. Weisstein, « Schwartz Space », sur MathWorld