Extension de groupes

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits », par l'un de ses sous-groupe distingué et l'un de ses quotients.

Définition

Une extension d'un groupe $Q$ par un groupe $N$ est un groupe $G$ qui s'insère dans une suite exacte courte de la forme

$1\to N\to G\to Q\to 1$.

Autrement dit, le groupe $G$ est une extension de $Q$ par $N$ si $N$ est isomorphe à un sous-groupe normal de $G$ et $Q$ est isomorphe au groupe quotient $G/N$.

Propriétés

Une extension

$1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1$

est dite

• centrale si $N$ est inclus dans le centre de $G$,
• triviale si $G$ est isomorphe au produit direct $N\times Q$,
• scindée s'il existe un morphisme de groupes $s\colon Q\to G$ vérifiant $\pi \circ s=\mathrm {id} _{Q}$. Les extensions scindées de Q par $N$ sont celles qui correspondent aux produits semi-directs $N\rtimes Q$. Les groupes $Q$ dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres.

Morphisme d'extensions

Étant donné deux extensions de $Q$ par $N$

$1\to N\;{\overset {\iota }{\to }}\;G\;{\overset {\pi }{\to }}\;Q\to 1$

et

$1\to N\;{\overset {\iota '}{\to }}\;G'\;{\overset {\pi '}{\to }}\;Q\to 1$,

un morphisme d'extensions de $G$ dans $G'$ est un morphisme de groupes $\varphi \colon G\to G'$ pour lequel le diagramme

${\begin{matrix}1&\to &N&{\overset {\iota }{\to }}&G&{\overset {\pi }{\to }}&Q&\to &1\\&&\downarrow \operatorname {id} &&\downarrow {\varphi }&&\downarrow \operatorname {id} \\1&\to &N&{\overset {\iota '}{\to }}&G'&{\overset {\pi '}{\to }}&Q&\to &1\end{matrix}}$

est commutatif, c'est-à-dire vérifiant $\varphi \circ \iota =\iota '$ et $\pi '\circ \varphi =\pi$. D'après le lemme des cinq, un tel morphisme $\varphi$ est toujours un isomorphisme.

Articles connexes

• Extension HNN
• Foncteur Ext
• Homologie des groupes
• Multiplicateur de Schur