Extension de groupes

Cet article est une ébauche concernant les mathématiques.

En mathématiques et plus précisément en théorie des groupes, une extension de groupes est une manière de décrire un groupe en termes de deux groupes « plus petits », par l'un de ses sous-groupes distingués et l'un de ses quotients.

Définition

Une extension d'un groupe $Q$ par un groupe $N$ est un groupe $G$ qui s'insère dans une suite exacte courte de la forme

1 \to N \to G \to Q \to 1

.

Autrement dit, le groupe $G$ est une extension de $Q$ par $N$ ^[1] si $N$ est isomorphe à un sous-groupe normal de $G$ et $Q$ est isomorphe au groupe quotient $G / N$ .

Propriétés

Une extension

1 \to N \overset{ι}{\to} G \overset{π}{\to} Q \to 1

est dite

centrale si $N$ est inclus dans le centre de $G$ ,
triviale si $G$ est isomorphe au produit direct $N \times Q$ ,
scindée s'il existe un morphisme de groupes $s : Q \to G$ vérifiant $π \circ s = {i d}_{Q}$ . Les extensions scindées de Q par $N$ sont celles qui correspondent aux produits semi-directs $N ⋊ Q$ . Les groupes $Q$ dont toutes les extensions sont scindées sont les groupes libres^[2].

Morphisme d'extensions

Étant donné deux extensions de $Q$ par $N$

1 \to N \overset{ι}{\to} G \overset{π}{\to} Q \to 1

et

1 \to N \overset{ι^{'}}{\to} G^{'} \overset{π^{'}}{\to} Q \to 1

,

un morphisme d'extensions de $G$ dans $G^{'}$ est un morphisme de groupes $φ : G \to G^{'}$ pour lequel le diagramme

\begin{matrix} 1 & \to & N & \overset{ι}{\to} & G & \overset{π}{\to} & Q & \to & 1 \\ ↓ id & ↓ φ & ↓ id \\ 1 & \to & N & \overset{ι^{'}}{\to} & G^{'} & \overset{π^{'}}{\to} & Q & \to & 1 \end{matrix}

est commutatif, c'est-à-dire vérifiant $φ \circ ι = ι^{'}$ et $π^{'} \circ φ = π$ . D'après le lemme des cinq, un tel morphisme $φ$ est toujours un isomorphisme.

Notes et références

↑
C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
- N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,
- (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et
- (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
- Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;
- (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;
- (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;
- (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et
- (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.
Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.
↑ (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1993 (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.

Articles connexes

Portail de l’algèbre

[1] C'est cette convention sur les deux prépositions « de » et « par » qui est choisie dans :
N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,

(en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et

(de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.
Mais d'autres auteurs choisissent la convention inverse, en écrivant qu'alors, G est une extension de N par Q :
Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;

(en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;

(en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;

(en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et

(en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.
Isaacs (2008), p. 66, souligne que les deux conventions coexistent.

[mwXg] N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, chap. I, § 6,

[mwYw] (en) I. Martin Isaacs (en), Finite Group Theory, AMS, 2008 (lire en ligne), p. 66 et

[mwcQ] (de) Otto Schreier, « Über die Erweiterung von Gruppen I », Monatshefte für Mathematik und Physik, vol. 34,‎ 1926, p. 165-180.

[mwhg] Jean Fresnel, Groupes, Hermann, 2001, p. 19 ;

[mwig] (en) William R. Scott, Group Theory, Dover, 1987 (1^re éd. 1964) (lire en ligne), p. 210 ;

[mwmQ] (en) John S. Rose, A Course on Group Theory, Dover, 1994 (réimpr.), p. 202 ;

[mwoA] (en) Joseph J. Rotman (en), An Introduction to the Theory of Groups, Springer, 1999 (tirage corrigé), 4^e éd. [détail de l’édition] (lire en ligne), p. 154 et

[mwtA] (en) Derek J. S. Robinson (de), A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1996, 2^e éd. (lire en ligne), p. 68.

[2] (en) Derek J. S. Robinson, A Course in the Theory of Groups, Springer, coll. « GTM » (n^o 80), 1993 (lire en ligne), p. 312, exercice 11.1.3.

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