Fonction à variation lente

En analyse réelle, une fonction à variation lente est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction qui converge à l'infini. De même, une fonction variant régulièrement est une fonction d'une variable réelle dont le comportement à l'infini est similaire à celui d'une fonction de loi de puissance (comme un polynôme) proche de l'infini. Ces deux classes de fonctions ont été introduites par Jovan Karamata[1],[2] et ont trouvé plusieurs applications importantes, par exemple en théorie des probabilités.

Définitions

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La théorie de Karamata a pour objet l'étude de relations asymptotiques de la forme

.

En particulier, une fonction mesurable est dite à variation lente (à l'infini) si, pour tout , on a

.

Une fonction est à variation régulière si, pour tout , on a

.

En particulier, la limite doit donc être finie.

Ces définitions sont dues à Jovan Karamata[1],[2].

Propriétés de base

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Les fonctions à variation régulière ont des propriétés importantes[1] dont une partie est détaillée ci-dessous. Des analyses plus poussées des propriétés caractérisant la variation régulière sont présentées dans la monographie de Bingham, Goldie & Teugels (1987).

Uniformité du comportement limite

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Dans les deux définitions, les limites sont uniformes sur des parties compactes du paramètre .

Théorème de caractérisation de Karamata

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Théorème — Tout fonction à variation régulière est de la forme

est un nombre réel et et une fonction à variation lente.

Cela implique que la fonction dans la définition est nécessairement de la forme :

pour un nombre réel  ; ce nombre est appelé l'indice de variation régulière, et la classe des fonctions de cet indice est notee

Théorème de représentation de Karamata

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Théorème — Une fonction varie lentement si et seulement s'il existe un nombre tel que pour tout , la fonction peut s'écrire sous la forme

est une fonction bornée mesurable qui converge vers un nombre fini quand tend vers l’infini et est une fonction mesurable bornée qui tend vers 0 quand .

Théorème de Karamata

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Théorème — Si et , alors

Cela signifie que la fonction dans la formule se comporte asymptotiquement comme une constante sous l'intégration. Inversement, l'équation implique .


Exemples

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  • Si est une fonction mesurable et a une limite
alors est une fonction variant lentement.
  • La fonction varie lentement pour tout nombre réel .
  • Ni la fonction ni la fonction pour ne varie lentement. Cependant, ces fonctions varient régulièrement.

Applications

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Une application importante de la théorie de Karamata à l'analyse est le théorème taubérien de Karamata (ou théorème de Hardy-Littlewood-Karamata) :

Théorème — Soit (avec ) une fonction croissante, avec la transformée de Laplace-Stieltjes

.

On a quand avec , et si et seulement si ( ).

La réunion des classes , pour , est la classe des fonctions à variation régulière notée . Cette classe est contenue dans la classe plus large ER des fonctions régulières étendues, elle-même incluse dans la classe OR des fonctions à variation 0-régulière : . De même qu'une fonction possède un indice de variation régulière, et donc , une fonction admet un couple d'indices de Karamata supérieurs et inférieurs (et ceux-ci sont égaux si et seulement si ) et une fonction possède une paire d'indices de Matuszewska supérieur et inférieur. Ces classes ER et OR ont des propriétés analogues à celles décrites ci-dessus, par exemple, les théorèmes de convergence uniforme et de représentation sont valables.

La théorie de Karamata a été largement utilisée dans plusieurs domaines de l'analyse, comme les théorèmes taubériens et abéliens et le théorème de Mercer, la théorie de Levin-Pfluger de croissance complètement régulière des fonctions entières[2], et est également utile dans les questions asymptotiques en théorie analytique des nombres[2]. Elle a été largement utilisée aussi en théorie des probabilités, à la suite des travaux de W. Feller[3].

Voir également

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Références

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  1. a b et c (Galambos et Seneta 1973)
  2. a b c et d (Bingham, Goldie et Teugels 1987).
  3. W. Feller, An introduction to probability theory and its applications, Springer (1976).

Bibliographie

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Articles liés

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