Fonction homogène

En mathématiques, une fonction homogène est une fonction qui a un comportement d’échelle multiplicatif par rapport à son ou ses arguments : si l'argument (vectoriel au besoin) est multiplié par un scalaire, alors le résultat sera multiplié par ce scalaire porté à une certaine puissance, appelée degré.

Définitions

Soient $E$ et $F$ deux espaces vectoriels sur un même corps commutatif $K$ .

Une fonction $f$ de $E$ dans $F$ est dite homogène de degré $α$ si :

\forall t \in K \forall x \in E f (t x) = t^{α} f (x)

Si $K$ est un sous-corps des réels, on dit que $f$ est positivement homogène de degré $α$ ^{[note 1]} si^[2] :

\forall t > 0 \forall x \in E f (t x) = t^{α} f (x)

Si $K$ est un sous-corps des complexes, on dit que $f$ est absolument homogène de degré $α$ si :

\forall t \in K \forall x \in E f (t x) = | t |^{α} f (x)

Selon le contexte, « positivement homogène » peut signifier « positivement homogène de degré $α$ pour un certain $α$ » ou « positivement homogène de degré 1 »^[3].

Propriétés

Continuité

Une fonction homogène n'est pas nécessairement continue comme l'illustre l'exemple suivant (voir figure ci-contre) :

f (x, y) = {\begin{matrix} x & si x y > 0 \\ 0 & si x y \leq 0 \end{matrix}

Cette fonction est homogène de degré 1, car $\forall (t, x, y) \in ℝ^{3}$ , $f (t x, t y) = t f (x, y)$ . Mais elle n'est pas continue pour $y = 0$ , $x \neq 0$ .

Dérivées partielles

Si $f$ est une fonction différentiable positivement homogène de degré $α$ , alors ses dérivées partielles sont positivement homogènes de degré $α - 1$ ^[4]^,^[5] :

f (t x) = t^{α} f (x)

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) = t^{α - 1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x)

Démonstration^[4]^,^[5].

Soit la fonction $f$ telle que :

\begin{matrix} f : & C & ⟶ & ℝ \\ x & ⟼ & f (x) \end{matrix}

Soit la fonction $u$ telle que :

\begin{matrix} u : & ℝ^{+, *} \times C & ⟶ & C \\ (t, x) & ⟼ & u (t, x) = (u_{1}, \dots, u_{n}) = t x = (t x_{1}, \dots, t x_{n}) \end{matrix}

Soit la fonction $F$ telle que :

\begin{matrix} F : & C & ⟶ & ℝ \\ u & ⟼ & F (u) = f (t x) \end{matrix}

On a, $\forall a \in C$ et pour toutes variables $u_{i}$ et $x_{i}$ :

\frac{\partial F}{\partial u_{i}} (a) = \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (a)

Le théorème de dérivation des fonctions composées donne, quelle que soit la variable $x_{i}$ , la dérivée partielle :

\frac{\partial F}{\partial x_{i}} (u) = \frac{\partial u_{i}}{\partial x_{i}} (t, x) \frac{\partial F}{\partial u_{i}} (u) = t \frac{\partial F}{\partial u_{i}} (u) = t \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x)

Si $f : C \to ℝ$ est une fonction positivement homogène de degré $α$ , alors :

\forall t \in ℝ^{+, *}, \forall x \in C, F (u) = f (t x) = t^{α} f (x)

d'où, quelle que soit la variable $x_{i}$ , la dérivée partielle :

\frac{\partial F}{\partial x_{i}} (u) = t^{α} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x)

Les deux expressions de la dérivée partielle de $F$ donnent par conséquent :

\frac{\partial F}{\partial x_{i}} (u) = t \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) = t^{α} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x)

d'où, puisque $t \neq 0$ :

\frac{\partial f}{\partial x_{i}} (t x) = t^{α - 1} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x)

Exemple

Soit la fonction

f

telle que,

\forall (a, b, c) \in ℝ^{3}

:

\begin{matrix} f : & ℝ^{2} & ⟶ & ℝ \\ x = (x_{1}, x_{2}) & ⟼ & f (x) = a {x_{1}}^{2} + b {x_{2}}^{2} + c x_{1} x_{2} \end{matrix}

Cette fonction est homogène de degré 2 puisque,

\forall t \in ℝ^{+}

:

\begin{matrix} f (t x) & = a {(t x_{1})}^{2} + b {(t x_{2})}^{2} + c (t x_{1}) (t x_{2}) \\ = t^{2} (a {x_{1}}^{2} + b {x_{2}}^{2} + c x_{1} x_{2}) \\ = t^{2} f (x) \end{matrix}

On a les dérivées partielles :

\frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x) = 2 a x_{1} + c x_{2}

\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} (t x) & = 2 a (t x_{1}) + c (t x_{2}) \\ = t (2 a x_{1} + c x_{2}) \\ = t \frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x) \end{matrix}

ainsi que :

\frac{\partial f}{\partial x_{2}} (x) = 2 b x_{2} + c x_{1}

\begin{matrix} \frac{\partial f}{\partial x_{2}} (t x) & = 2 b (t x_{2}) + c (t x_{1}) \\ = t (2 b x_{2} + c x_{1}) \\ = t \frac{\partial f}{\partial x_{2}} (x) \end{matrix}

On vérifie donc que,

f

étant homogène de degré 2, ses dérivées partielles sont homogènes de degré 1.

Identité d'Euler

Article détaillé : Théorème d'Euler (fonctions homogènes).

Une fonction différentiable de $ℝ^{n}$ dans $ℝ$ est positivement homogène de degré $α$ si, et seulement si, elle vérifie l'identité d'Euler^[4] :

identité d'Euler :

\sum_{i = 1}^{n} x_{i} \frac{\partial f}{\partial x_{i}} (x) = α f (x)

Exemple

En prolongement de l'exemple précédent, on a :

\begin{matrix} x_{1} \frac{\partial f}{\partial x_{1}} (x) + x_{2} \frac{\partial f}{\partial x_{2}} (x) & = x_{1} (2 a x_{1} + c x_{2}) + x_{2} (2 b x_{2} + c x_{1}) \\ = 2 (a {x_{1}}^{2} + b {x_{2}}^{2} + c x_{1} x_{2}) \\ = 2 f (x) \end{matrix}

L'identité d'Euler est vérifiée.

Relations entre fonctions homogènes

Si $f$ et $g$ sont deux fonctions homogènes de degré $α$ , alors $f + g$ est une fonction homogène de degré $α$ ^[6].

Si $f$ est une fonction homogène de degré $α$ et $g$ est une fonction homogène de degré $β$ , alors $f g$ est une fonction homogène de degré $α + β$ et $\frac{f}{g}$ est une fonction homogène de degré $α - β$ ^[6].

Si $f$ est une fonction homogène de degré $α$ et $γ \in R^{*}$ , alors $f^{γ}$ est une fonction homogène de degré $α γ$ ^[6].

Exemples

En mathématiques

L'application qui à un n-uplet de réels associe son maximum est positivement homogène de degré 1.
Une application linéaire est homogène de degré 1.
Un polynôme homogène est homogène de degré égal à celui de chacun de ses monômes.
Une fonction sous-linéaire est positivement homogène de degré 1. En particulier, il en est ainsi de la jauge d'un ensemble convexe, de la fonction d'appui d'un ensemble non vide, d'une norme, etc.
La dérivée directionnelle (au sens de Dini) $h \mapsto f^{'} (x; h)$ d'une fonction $f$ définie sur un ℝ-espace vectoriel est, lorsqu'elle existe, positivement homogène de degré 1, lorsqu'on la voit comme fonction de la direction de dérivation.
Le déterminant d'une matrice de $M_{n} (K)$ est homogène de degré $n$ .

En thermodynamique

En thermodynamique, une fonction $X$ est extensive si sa valeur, à pression $P$ et température $T$ constantes, est proportionnelle à la quantité de matière (ou, de façon équivalente, à la masse) du mélange considéré. Soit $n_{i}$ la quantité du constituant $i$ du mélange et $λ$ un nombre réel positif quelconque, par lequel on multiplie toutes les quantités $n_{i}$ . La valeur finale de $X$ est égale à $λ$ fois sa valeur initiale :

X (P, T, λ n_{1}, λ n_{2}, \dots) = λ X (P, T, n_{1}, n_{2}, \dots)

Par exemple, à pression et température données, si l'on double les quantités de tous ses constituants, le volume d'un mélange est doublé ; inversement, si l'on divise par deux ces quantités, le volume est divisé par deux. Le volume est une fonction extensive, ainsi que les capacités thermiques, les potentiels thermodynamiques, l'entropie, etc.^[7]. Une fonction thermodynamique extensive est, en termes mathématiques, une fonction homogène de degré 1 par rapport aux quantités des constituants, à pression et température données^[7]^,^[8]^,^[9]^,^[10].

On définit la quantité de matière totale $n = \sum_{i} n_{i}$ du mélange et la fraction molaire $x_{i} = n_{i} / n$ de tout constituant $i$ . L'extensivité de la fonction $X$ donne :

X (P, T, n_{1}, n_{2}, \dots) = X (P, T, n x_{1}, n x_{2}, \dots) = n X (P, T, x_{1}, x_{2}, \dots)

Puisque $\sum_{i} x_{i} = (\sum_{i} n_{i}) / n = 1$ , la fonction $\bar{X} = X (P, T, x_{1}, x_{2}, \dots)$ est la valeur de la fonction $X$ pour une quantité totale de matière égale à 1 mole : la grandeur $\bar{X}$ est appelée grandeur molaire. Quelle que soit la quantité $n$ (exprimée également en moles), on a $X = n \bar{X}$ .

Les mêmes raisonnements peuvent être tenus en considérant les masses des constituants en place de leurs quantités ; on emploie alors les fractions massiques et l'on définit les grandeurs massiques.

En économie

En économie, une fonction de production est généralement homogène, telle la fonction de Cobb-Douglas, très utilisée^[11].

Notes et références

Notes

↑ Appelé homogène de degré $α$ dans certains ouvrages^[1].

Références

↑ Knut Sydsaeter et Peter Hammond (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Mathématiques pour l'économie [« Mathematics for Economic Analysis »], Pearson, 2014.
↑ Pour $α = 1$ , c'est par exemple la définition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970 (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs préfèrent inclure le cas $t = 0$ dans la définition, imposant ainsi de plus $f (0) = 0$ , comme (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997 (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, n^os 1-4,‎ 1999, p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).
↑ Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogène (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dès la définition.
1 2 3 Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, Presses polytechniques et universitaires romandes (EPFL Press), coll. « Enseignement des mathématiques », 2006, 414 p. (ISBN 9782880747282, lire en ligne), p. 301-302.
1 2 Hal R. Varian et Bernard Thiry (révision scientifique) (trad. de l'anglais par Jean-Marie Hommet), Analyse microéconomique [« Microeconomic Analysis »], De Boeck Supérieur, coll. « Ouvertures économiques », 2008, 2^e éd., 572 p. (ISBN 9782804158231, lire en ligne).
1 2 3 Ahmed Lesfari, Eléments de géométrie différentielle, Éditions Ellipses, 2018, 384 p. (ISBN 9782340087866, lire en ligne), p. 301.
1 2 Pierre Infelta et Michael Graetzel, Thermodynamique : Principes et Applications, Boca Raton, Floride, BrownWalker Press, 2006, 484 p. (ISBN 1-58112-995-5, lire en ligne), p. 90.
↑ J. Mesplède, Chimie : Thermodynamique Matériaux PC, Bréal (ISBN 9782749520643, lire en ligne), p. 14-15.
↑ Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, De Boeck Supérieur, 2018, 976 p. (ISBN 9782807307445, lire en ligne), p. 284-285 « Euler (relation d') » et « Euler (théorème d') ».
↑ Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé et Hubert Debellefontaine, Thermodynamique : Applications aux systèmes physicochimiques, Dunod, 2015, 278 p. (ISBN 978-2-10-072894-7, lire en ligne), p. 13.
↑ Aurelio Mattei, Manuel de micro-économie, Genève-Paris, Librairie Droz, coll. « Travaux de sciences sociales (volume 159) », 2000, 3^e éd., 403 p. (ISBN 9782600004725, lire en ligne), p. 81-82.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

« 4 Fonctions homogènes » (version du 26 septembre 2007 sur archive.org) : cours en ligne.

Portail des mathématiques

[notenome-2] Appelé homogène de degré $α$ dans certains ouvrages^[1].

[1] Knut Sydsaeter et Peter Hammond (trad. de l'anglais par Micheline Citta-Vanthemsche), Mathématiques pour l'économie [« Mathematics for Economic Analysis »], Pearson, 2014.

[3] Pour $α = 1$ , c'est par exemple la définition de (en) R. Tyrrell Rockafellar, Convex Analysis, Princeton University Press, 1970 (lire en ligne), p. 30. Mais d'autres auteurs préfèrent inclure le cas $t = 0$ dans la définition, imposant ainsi de plus $f (0) = 0$ , comme (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997 (lire en ligne), p. 313 ou (en) V. F. Demyanov, « Exhausters of a positively homogeneous function », Optimization, vol. 45, n^os 1-4,‎ 1999, p. 13-29 (DOI 10.1080/02331939908844424).

[4] Par exemple, Rockafellar 1970, p. 30, donne la définition d'une fonction « positivement homogène (de degré 1) » et dans toute la suite, ne précise plus ce degré, et dans Schechter 1997, p. 30, le degré 1 est implicite dès la définition.

[Douchet-5] 1 2 3 Jacques Douchet et Bruno Zwahlen, Calcul différentiel et intégral : fonctions réelles d'une ou de plusieurs variables réelles, Presses polytechniques et universitaires romandes (EPFL Press), coll. « Enseignement des mathématiques », 2006, 414 p. (ISBN 9782880747282, lire en ligne), p. 301-302.

[Varian-6] 1 2 Hal R. Varian et Bernard Thiry (révision scientifique) (trad. de l'anglais par Jean-Marie Hommet), Analyse microéconomique [« Microeconomic Analysis »], De Boeck Supérieur, coll. « Ouvertures économiques », 2008, 2^e éd., 572 p. (ISBN 9782804158231, lire en ligne).

[Lesfari-7] 1 2 3 Ahmed Lesfari, Eléments de géométrie différentielle, Éditions Ellipses, 2018, 384 p. (ISBN 9782340087866, lire en ligne), p. 301.

[Infelta-8] 1 2 Pierre Infelta et Michael Graetzel, Thermodynamique : Principes et Applications, Boca Raton, Floride, BrownWalker Press, 2006, 484 p. (ISBN 1-58112-995-5, lire en ligne), p. 90.

[Mesplède-9] J. Mesplède, Chimie : Thermodynamique Matériaux PC, Bréal (ISBN 9782749520643, lire en ligne), p. 14-15.

[Taillet-10] Richard Taillet, Loïc Villain et Pascal Febvre, Dictionnaire de physique, De Boeck Supérieur, 2018, 976 p. (ISBN 9782807307445, lire en ligne), p. 284-285 « Euler (relation d') » et « Euler (théorème d') ».

[Foussard-11] Jean-Noël Foussard, Edmond Julien, Stéphane Mathé et Hubert Debellefontaine, Thermodynamique : Applications aux systèmes physicochimiques, Dunod, 2015, 278 p. (ISBN 978-2-10-072894-7, lire en ligne), p. 13.

[12] Aurelio Mattei, Manuel de micro-économie, Genève-Paris, Librairie Droz, coll. « Travaux de sciences sociales (volume 159) », 2000, 3^e éd., 403 p. (ISBN 9782600004725, lire en ligne), p. 81-82.

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