Formule de Binet-Cauchy

En algèbre linéaire, la formule de Binet-Cauchy ou formule de Cauchy-Binet, généralise la propriété de multiplicativité du déterminant d'un produit au cas de deux matrices rectangulaires. On peut l'écrire pour des matrices dont les coefficients sont dans un corps commutatif, ou plus généralement dans un anneau commutatif.

Énoncé

Pour que le produit des matrices $A$ et $B$ existe et soit une matrice carrée, on suppose que $A$ et $B$ sont de formats respectifs $m$ par $n$ et $n$ par $m$. La formule de Binet-Cauchy s'énonce alors :

$\det(AB)=\sum _{S\in {\mathcal {P}}_{m}(\{1,\dots ,n\})}\det(A_{S})\det(B_{S})$,

où ${\mathcal {P}}_{m}(\{1,\dots ,n\})$ désigne l'ensemble des parties à $m$ éléments de $\{1,\dots ,n\}$. Le nombre de ces parties est égal au coefficient binomial ${\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}$.

Si $m\leqslant n$, pour chaque $S$, la matrice $A_{S}$ est la matrice carrée de format $m$ obtenue en ne retenant que les colonnes de $A$ dont l'indice appartient à $S$. De même $B_{S}$ est la matrice de format $m$ obtenue en ne retenant que les lignes de $B$ dont l'indice appartient à $S$.

Si $m>n$, $\det(AB)$ est nul et la somme est nulle, selon les conventions usuelles sur les sommes vides.

Dans le cas particulier où $m=n$, les matrices $A$ et $B$ sont carrées, il y a un seul terme dans la formule de Binet-Cauchy, qui redonne bien la propriété de multiplicativité des déterminants.

Cas particulier m = 2

Prenant $A={\begin{pmatrix}a_{1}&\dots &a_{n}\\b_{1}&\dots &b_{n}\end{pmatrix}},B={\begin{pmatrix}c_{1}&d_{1}\\\vdots &\vdots \\c_{n}&d_{n}\end{pmatrix}}$, la formule de Binet-Cauchy s'écrit :

$\det(AB)={\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}c_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}d_{j}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}a_{i}d_{i}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}b_{j}c_{j}{\biggr )}=\sum _{1\leqslant i<j\leqslant n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})(c_{i}d_{j}-c_{j}d_{i})$,

formule connue sous le nom d'identité de Binet-Cauchy.

Démonstration

On écrit A sous forme d'une liste de colonnes : A₁, …, A_n, et B en détaillant tous les coefficients. Le déterminant du produit AB est donc, en colonnes, de la forme

$\det(AB)=\det \left(\sum _{{j_{1}}=1}^{n}b_{{j_{1}}1}A_{j_{1}},\dots ,\sum _{{j_{m}}=1}^{n}b_{{j_{m}}m}A_{j_{m}}\right).$

Il faut exploiter la multilinéarité du déterminant, et rassembler les termes correspondant au même det(A_S) en utilisant le caractère alterné. Le coefficient devant det(A_S) est identifié à det(B_S) en reconnaissant la formule de Leibniz.

Cette preuve peut être utilisée pour établir la propriété de produit des déterminants (une version plus géométrique a été établie dans l'article déterminant).

Généralisation

On peut écrire une forme plus générale de la formule de Binet-Cauchy pour les mineurs d'une matrice. Elle s'écrit de manière élégante grâce à la notion de matrice associée. Soit R un anneau commutatif et $A\in \mathbf {R} ^{n\times m}$. La p-ième matrice associée de A, notée $A^{\left(p\right)}$, a pour éléments les mineurs

$\mathbf {m} _{\alpha \beta }=A\left({\begin{array}{cccc}i_{1}&i_{2}&\cdots &i_{p}\\j_{1}&j_{2}&&j_{p}\end{array}}\right)$

obtenus en ne retenant que les lignes d'indices $i_{1},...,i_{p}$ et les colonnes d'indices $j_{1},...,j_{p}$ et où $\alpha =\left\{i_{1},...,i_{p}\right\}$, $\beta =\left\{j_{1},...,j_{p}\right\}$, $1\leq i_{1}<i_{2}<...<i_{p}\leq n$, $1\leq j_{1}<j_{2}<...<j_{p}\leq m$.

Si $A\in \mathbf {R} ^{n\times m}$, $B\in \mathbf {R} ^{m\times q}$, alors

$(AB)^{\left(p\right)}=A^{\left(p\right)}B^{\left(p\right)}$

Cette formule reste valide si R est un corps non commutatif, un mineur non nul d'une matrice A étant alors défini comme étant le déterminant de Dieudonné d'une sous-matrice carrée inversible de A

Interprétation euclidienne

Si A est une matrice réelle de format m par n, alors le déterminant de la matrice A ^tA est égal au carré du volume m-dimensionnel du parallélotope engendré dans ℝⁿ par les m colonnes de A.

La formule de Binet-Cauchy montre que cette quantité est égale à la somme des carrés des volumes des projections orthogonales sur les différents sous-espaces de coordonnées de dimension m (qui sont au nombre de ${\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}$).

Dans le cas m = 1, ces projections orthogonales sont des segments, et on retrouve une forme du théorème de Pythagore.

Voir aussi

Bibliographie

• (en) Joel G. Broida & S. Gill Williamson. A Comprehensive Introduction to Linear Algebra, §4.6 Cauchy-Binet theorem, pp. 208–14, Addison-Wesley, 1989, (ISBN 0-201-50065-5).
• (en) Shafarevich, Igor R., Remizov, Alexey O. Linear Algebra and Geometry, §2.9 (p. 68) & §10.5 (p. 377), Springer, 2012, (ISBN 978-3-642-30993-9).
• Feliks Rouminovich Gantmacher, Théorie des matrices : Théorie générale, vol. 1, Dunod, 1966, 370 p., §4, p. 21.