Formule de Brahmagupta

En géométrie euclidienne, la formule de Brahmagupta, portant le nom du mathématicien indien du VII^e siècle Brahmagupta, est une généralisation de la formule de Héron à l'aire d'un quadrilatère convexe inscriptible (c'est-à-dire dont les sommets se situent sur un même cercle), uniquement en fonction des longueurs de ses côtés :

S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}

où $p={\frac {1}{2}}(a+b+c+d)\,$ est le demi-périmètre du quadrilatère, $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont les longueurs de ses côtés et $S$ son aire ^[1].

Elle représente un cas particulier de la formule de Bretschneider donnant l'aire d'un quadrilatère non forcément inscriptible, concave ou convexe mais non croisé.

Démonstration

En suivant les notations de la figure, l'aire $S$ du quadrilatère inscriptible est la somme des aires des triangles $(ADB)$ et $(BDC)$ :

S={\frac {1}{2}}ab\sin {\widehat {A}}+{\frac {1}{2}}cd\sin {\widehat {C}}

mais comme $(ABCD)$ est inscriptible, les angles en $A$ et $C$ sont supplémentaires et ont le même sinus, par suite : $S={\frac {1}{2}}(ab+cd)\sin {\widehat {A}}$

d'où en élevant au carré :

4S^{2}=(ab+cd)^{2}-\cos ^{2}{\widehat {A}}(ab+cd)^{2}\,

En appliquant le théorème d'Al-Kashi aux triangles $(ADB)$ et $(BDC)$ et en égalant les expressions du côté commun $DB$ , on obtient :

a^{2}+b^{2}-2ab\cos {\widehat {A}}=c^{2}+d^{2}-2cd\cos {\widehat {C}}\,

ce qui s'écrit puisque les angles en $A$ et $C$ sont supplémentaires :

2\cos {\widehat {A}}(ab+cd)=a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}.\,

En reportant dans la formule précédente, on obtient :

{\begin{aligned}16S^{2}&=4(ab+cd)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})^{2}\\&=(2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2})(2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2})\\&=((a+b)^{2}-(c-d)^{2})((c+d)^{2}-(a-b)^{2})\\&=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d).\end{aligned}}

En introduisant $p={\frac {a+b+c+d}{2}}$ , on obtient :

16S^{2}=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)\,

d'où

S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.

Cas particuliers

Le carré correspond au cas $b=c=d=a,\quad p=2a$ et $S={\sqrt {a^{4}}}=a^{2}\,$
Le rectangle correspond au cas $a=b=L,\quad c=d=l,\quad p=(L+l)$ et $S={\sqrt {L^{2}\cdot l^{2}}}=L\cdot l\,$
Le triangle correspond au cas $d=0\quad$ : on retrouve alors la formule de Héron.