Formule de Crofton

En mathématiques, la formule de Crofton, nommée d'après Morgan Crofton (de) (1826-1915), est un résultat de géométrie intégrale qui relie la longueur d'une courbe plane avec le nombre moyen de ses points d'intersections avec une droite quelconque du plan.

La droite de paramètres $(\varphi ,p)$ intersecte deux fois la courbe donc $n_{\gamma }(\varphi ,p)=2$.

Énoncé

Soit γ une courbe plane rectifiable de longueur finie. Soit une droite orientée l, et soit n_γ(l) le nombre de points où γ et l s'intersectent. On peut paramétrer la droite l par sa direction φ composée d'un angle et de coordonnées par rapport à l'origine. La formule de Crofton permet d'exprimer la longueur de la courbe γ en termes d'intégrale sur l'espace de toutes les droites orientées :

$\ell (\gamma )={\frac {1}{4}}\iint n_{\gamma }(\varphi ,p)\;\mathrm {d} \varphi \;\mathrm {d} p.$

La forme différentielle

$\mathrm {d} \varphi \wedge \mathrm {d} p$

est invariante par rapport aux transformations rigides ; il s'agit donc d'une mesure naturelle pour intégrer, ce qui permet de parler de nombre « moyen » d'intersection.

Articles connexes

• Théorème de Barbier
• Nouille de Buffon (en)

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Crofton formula » (voir la liste des auteurs).