Formule de Hagen-Rubens

En optique, la formule de Hagen-Rubens exprime le coefficient de réflexion d'un milieu conducteur en fonction de la fréquence de la radiation incidente et de la conductivité du milieu.

Cette relation s'écrit:

$R=1-2\left({\frac {2\epsilon _{0}\omega }{\sigma }}\right)^{1/2}$

Dans le système d'unités SI.

Démonstration

On part des équations de Maxwell et on exprime la densité de courant en fonction du champ électrique en utilisant la loi d'Ohm.

On obtient:

$\nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\sigma \mathbf {E} +\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

et:

$\nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial B}{\partial t}}$

En éliminant le champ magnétique, on trouve une équation différentielle au dérivées partielles du second ordre pour le champ électrique. Cette équation s'écrit:

$\nabla ^{2}\mathbf {E} =\mu _{0}\sigma {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}$

On cherche une solution de cette équation sous la forme $E(x,t)=E_{0}e^{ikx-i\omega t}$, ce qui donne:

$k={\frac {\omega }{c}}\left(1+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)^{1/2}$

Un métal se comporte donc comme un milieu d'indice de réfraction complexe $N(\omega )=\left(1+{\frac {i\sigma }{\omega \epsilon _{0}}}\right)^{1/2}$

La partie imaginaire de $N(\omega )$ est responsable de l'effet de peau du métal.

En appliquant la formule donnant le coefficient de réflexion sur un milieu d'indice $N(\omega )$ et en supposant une fréquence telle que $\sigma \gg \epsilon _{0}\omega$ on obtient la relation de Hagen-Rubens.