Formule de Trotter-Kato

Soient X et Y deux opérateurs, qui ne commutent en général pas. La formule de Trotter-Kato, encore appelée simplement formule de Trotter ou de façon plus complète formule de Lie-Trotter-Kato, donne une expression de l'exponentielle de leur somme :

$$\mathrm {e} ^{(X+Y)}=\lim _{n\to \infty }\left(\mathrm {e} ^{\frac {X}{n}}\mathrm {e} ^{\frac {Y}{n}}\right)^{\!n}$$

La formule de Trotter-Kato est relié conceptuellement à la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, dans le sens où les deux remplacent, dans le contexte des opérateurs non commutatifs, la loi exponentielle classique.

La formule a des applications, par exemple, dans la formuel de l'intégrale de contour en mécanique quantique. Elle perment de séparer l'opérateur de l'équation de Schrödinger en incréments alternativement d'opérateurs cinétique et potentiel (la décomposition deSuzuki–Trotter, des noms de Trotter et Masuo Suzuki). Une idée similaire est utilisée dans la construction de méthode de séparation pour la solution numérique d'équations différentielles. De plus, la formule de Feynman-Kac peut en être déduite.

La formule de Trotter–Kato peut être utilisée comme approximation de C₀-semigroupes (en) linéaires.

Démonstration

En utilisant la formule de Baker-Campbell-Hausdorff, on a :

$(\mathrm {e} ^{A/n}\mathrm {e} ^{B/n})^{n}=\mathrm {e} ^{A+B+{\frac {1}{2n}}[A,B]+\cdots }\ {\underset {n\to +\infty }{\longrightarrow }}\ \mathrm {e} ^{A+B}$.

Références

• (en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Lie product formula » (voir la liste des auteurs).

Annexes

Articles connexes

• Formule de Baker-Campbell-Hausdorff
• Intégrale de chemin

Bibliographie

• (en) H. F. Trotter, « On the product of semigroups of operators », Proc. Amer. Math. Soc., vol. 10, n^o 4,‎ 1959, p. 545-551 (lire en ligne)
• (en) Tosio Kato, « Trotter's product formula for arbitrary pair of self-adjoint contraction semigroups », dans : Mark Kac (éd), Topics in functionnal analysis (essays dedicated to M. G. Krein on the occasion of his 70th birthday), Advances in Mathematics Supplementary Studies 3, Academic Press, 1978, p. 185-195
• (en) Michael C. Reed (en) et Barry Simon, Methods of Modern Mathematical Physics, Academic Press. Un traité de physique mathématique publié en 4 volumes :
  • Vol. I : Functional Analysis (1972)
  • Vol. II : Fourier Analysis, Self-Adjointness (1975)
• Vincent Cachia, La formule de Trotter-Kato : approximation des semi-groupes en normes d'opérateur et de trace [PDF], thèse de mathématiques de l'université de la Méditerranée Aix-Marseille II (2001), Saarbrücken, Éditions universitaires européennes, 2010 (ISBN 9786131533327)
• (en) Valentin A. Zagrebnov, Topics in the Theory of Gibbs Semigroups, KU Leuven Press, 2003
• (en) Valentin A. Zagrebnov, Gibbs Semigroups, Book series: Operator Theory: Advances and Applications (OT, volume 273), Bikhäuser, 2019
• (en) Valentin A. Zagrebnov et al Trotter-Kato Product Formulæ, Book series: Operator Theory: Advances and Applications (OT, volume 296), Bikhäuser, 2024