Glossaire de la géométrie symplectique
Cette page rassemble un ensemble de termes pouvant être rencontrés en géométrie symplectique.
Action
- Pour un hamiltonien H défini sur une variété symplectique dont le second groupe fondamental est annulé par la forme symplectique, l'action d'une courbe fermée contractile est définie par :
. - où u désigne un prolongement de x sur le disque D.
Action symplectique
- Une action symplectique est une action différentiable d'un groupe de Lie G sur une variété symplectique par difféomorphismes symplectiques. De manière équivalente, un morphisme de groupes de Lie où désigne le groupe des difféomorphismes symplectiques de .
Capacité symplectique
- Donnée pour toute variété symplectique d'un réel positif vérifiant :
- Pour tout plongement symplectique de N dans M, ;
- Pour tout réel non nul r, .
Champ de vecteurs hamiltonien
- Champ de vecteurs X tel que le produit intérieur de la forme symplectique par X est une forme différentielle exacte.
Champ de vecteurs symplectique
- Champ de vecteurs X tel que le produit intérieur de la forme symplectique par X est une forme différentielle fermée.
- La conjecture d'Arnold affirme plusieurs résultats :
- Le nombre de points fixes pour une isotopie hamiltonienne sur une variété symplectique compacte est au moins égale à la somme des nombres de Betti de la variété.
- Un difféomorphisme hamiltonien sur une variété symplectique compacte a au moins autant de points fixes qu'une fonction de Morse doit avoir de points critiques.
- La conjecture de Weinstein affirme l'existence de caractéristiques fermées pour les hypersurfaces convexes
Courbe holomorphe
- Pour une structure presque complexe J, une courbe holomorphe est la donnée d'une surface de Riemann et d'une application telle que .
- Le déterminant de Fredholm est un fibré en droites complexes sur l'espace des applications de Fredholm entre deux espaces de Hilbert.
Difféomorphisme hamiltonien
- Un difféomorphisme hamiltonien d'une variété symplectique est un difféomorphisme obtenu dans une isotopie hamiltonienne.
Difféomorphisme symplectique
- Un difféomorphisme symplectique sur une variété symplectique est un difféomorphisme préservant la forme symplectique.
Distance de Hofer
- La distance de Hofer est une distance bi-invariante définie sur le groupe des difféomorphismes hamiltoniens d'une variété symplectique compacte ; elle a été introduite par Hofer en 1990[1]. La distance de Hofer d'un difféomorphisme hamiltonien à l'identité mesure l'oscillation minimale nécessaire pour qu'un hamiltonien engendre le difféomorphisme.
Énergie de déplacement
- Pour un ouvert propre U d'une variété symplectique, l'énergie de déplacement est :
- où l'infinimum porte sur tous les difféomorphismes hamiltoniens à support compact et d désigne la distance de Hofer. Conventionnellement, l'infinimum de l'ensemble vide est l'infini.
- 1-forme différentielle canonique définie sur les fibrés cotangents ; unique 1-forme différentielle sur dont le tiré en arrière par une section est vue comme une 1-forme différentielle sur M.
Forme symplectique
- 2-forme différentielle fermée définissant en tout point une forme bilinéaire alternée non dégénérée.
Forme volume
- Forme différentielle de degré maximal ne s'annulant en aucun point.
- Le groupe symplectique linéaire, noté ou , est le groupe des isomorphismes linéaires réels de préservant la forme symplectique canonique (la partie imaginaire du produit hermitien).
Hamiltonien
- Sur une variété symplectique , un hamiltonien est une fonction différentiable où I est un intervalle de contenant 0 ou un quotient . Dans ce cas, on parle de hamiltonien T-périodique.
Isotopie hamiltonienne
- Isotopie obtenue par intégration d'un champ de vecteurs hamiltonien dépendant du temps. Il est possible de prouver que ce sont exactement les isotopies constituées de difféomorphismes hamiltoniens.
Isotopie symplectique
- Isotopie obtenue par intégration d'un champ de vecteurs symplectique dépendant du temps. Il est possible de prouver que ce sont exactement les isotopies constituées de difféomorphismes symplectiques.
Nombre de Betti
- Les nombres de Betti d'une variété différentielle sont les dimensions sur Q des groupes de cohomologie à coefficients rationnels.
Sous-variété lagrangienne
- Dans une variété symplectique de dimension 2n, une sous-variété lagrangienne est une sous-variété différentielle de dimension n sur laquelle la forme symplectique induit une forme identiquement nulle.
Spectre d'action
- Pour un hamiltonien H sur une variété symplectique dont le second groupe fondamental est annulé par la forme symplectique, le spectre d'action de H est l'ensemble des actions des orbites 1-périodiques contractiles. C'est une partie compacte de R de largeur strictement positive.
Sphère holomorphe
- Voir courbe holomorphe.
Structure presque complexe
- Sur une variété, une structure presque complexe est un champ d'opérateurs dont le carré vaut moins l'identité.
Références
modifier- H. Hofer, On the topological properties of symplectic maps, Proceedings of the Royal Society of Edinburgh, 115, 1990