Horizon des particules

En relativité restreinte et en relativité générale, l'horizon des particules à un instant donné est la limite dans l'Univers entre l'ensemble des particules qui ont été observables à un temps antérieur et celles qui ne l'ont pas été. Cet horizon est la limite de l'univers observable à l'instant en question.

L'horizon des particules est le pendant de l'horizon des évènements, qui détermine la limite éventuelle de la région qui peut être influencée dans le futur par un observateur situé en un endroit donné à une époque donnée.

Calcul de la position de l'horizon des particules

Il est délicat de définir des distances en cosmologie, car elles varient au cours du temps par suite de l'expansion de l'Univers (elles augmentent lentement). De plus, le concept de distance dépend beaucoup du moyen de calcul utilisé. Ainsi, les notions de distance angulaire (utilisant la dimension apparente d'un objet de taille connue) ou de distance de luminosité (utilisant le flux lumineux reçu d'un objet de luminosité connue) sont souvent différentes de la distance de Hubble, laquelle dépend seulement du décalage spectral de la lumière reçue. Quand on parle de la distance de l'horizon, on entend donc la distance séparant un observateur donné de la position de l'objet le plus lointain qu'il puisse observer, cette distance étant rapportée à sa position actuelle, c'est-à-dire à l'époque où son temps cosmique est le même que celui de l'observateur. Même en négligeant le fait que la vision est bornée à la surface de dernière diffusion, les concepts de distance de luminosité ou de distance angulaire sont inadaptés pour les objets les plus lointains, car la lumière provenant de ces objets est trop faible et trop altérée par l'important décalage spectral : on recherchera d'abord la distance de Hubble.

La distance de l'horizon se calcule suivant une formule du type

$D_{\mathrm {h} }=\int _{t_{*}}^{t_{0}}\left(1+z(t)\right)c\;\mathrm {d} t$,

où c est la vitesse de la lumière, $t_{*}$ et $t_{0}$ correspondent respectivement à l'époque d'émission du signal le plus distant détectable et l'époque actuelle, et où la fonction $z(t)$ donne le décalage vers le rouge d'un signal reçu aujourd'hui après avoir été émis au temps t. Une façon intuitive d'interpréter ce résultat est de dire qu'un photon parcourt la distance $c\;\mathrm {d} t$ entre les instants $t$ et $t+\mathrm {d} t$, mais que cette distance s'est aujourd'hui allongée d'un facteur $1+z(t)$ du fait de l'expansion de l'Univers. Pour des époques récentes, $1+z(t)$ est proche de 1, car les distances n'ont pas beaucoup bougé depuis lors, mais $1+z(t)$ est significativement plus grand pour les époques plus anciennes.

Démonstration

Dans le cadre d'un modèle d'univers homogène et isotrope, on peut décrire celui-ci à l'aide d'une métrique dite de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker. L'élément de longueur associé à cette métrique s'écrit

$\mathrm {d} s^{2}=c^{2}\mathrm {d} t^{2}-a^{2}(t)\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}$,

où $a(t)$ représente la variation temporelle des distances cosmologiques (c'est le facteur d'échelle) et $\gamma _{ij}$ correspond, au facteur $a^{2}(t)$ près, aux coefficients de la métrique des sections spatiales de l'univers. Celles-ci peuvent être euclidiennes, sphériques ou hyperboliques, ce que l'on peut écrire sous la forme compacte

$\gamma _{ij}\mathrm {d} x^{i}\mathrm {d} x^{j}=\mathrm {d} \chi ^{2}+\mathrm {s} _{K}^{2}(\chi )\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)$,

où les coordonnées des sections spatiales sont notées χ, θ et φ. Les deux dernières correspondent aux coordonnées angulaires habituelles des coordonnées sphériques usuelles, alors que χ correspond à une coordonnée radiale qui tient compte de la nature (euclidienne ou non) des sections spatiales. La fonction s s'écrit

$\mathrm {s} _{K}(\chi )=\left\{{\begin{array}{l}\chi \qquad \mathrm {si} \qquad K=0,\\{\frac {\sin({\sqrt {K}}\chi )}{\sqrt {K}}}\qquad \mathrm {si} \qquad K>0,\\{\frac {\sinh({\sqrt {|K|}}\chi )}{\sqrt {|K|}}}\qquad \mathrm {si} \qquad K<0.\end{array}}\right.$

Le paramètre K décrit donc la nature des sections spatiales. Quand K est nul, les sections spatiales sont euclidiennes et la coordonnée χ s'identifie à la coordonnée radiale habituelle (en général notée r).

Dans cette métrique, les objets astrophysiques sont essentiellement immobiles, au sens où leurs coordonnées χ, θ, φ ne changent pas au cours du temps (omission faite de leur mouvement propre éventuel, mais celui-ci est négligeable à l'échelle cosmologique). La coordonnée t est appelée temps cosmique. Elle représente le temps mesuré par un objet immobile par rapport aux autres coordonnées. Il est commode d'effectuer un changement de variable, où le temps cosmique est remplacé par une quantité η, appelée temps conforme, selon

$c\mathrm {d} t=a(t)\mathrm {d} \eta$.

Le facteur d'échelle peut alors être exprimé indifféremment en fonction de t ou de η (avec bien sûr des formes fonctionnelles différentes). L'élément de longueur se réécrit alors

$\mathrm {d} s^{2}=a^{2}(\eta )\left[\mathrm {d} \eta ^{2}-\mathrm {d} \chi ^{2}-\mathrm {s} _{K}^{2}(\chi )\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}\right)\right]$.

La relativité restreinte enseigne que l'élément de longueur associé à la trajectoire d'un photon est nul. Si on considère la trajectoire d'un photon émis en un point dans la direction de l’origine du système de coordonnées, les coordonnées θ et φ sont en prime constantes. On a donc immédiatement

$\mathrm {d} s^{2}=0\Rightarrow \mathrm {d} \eta =\mathrm {d} \chi$.

Ainsi l'intervalle en termes de temps conforme entre émission et réception du photon correspond à la variation de la coordonnée χ le long de la trajectoire. Un objet situé à la coordonnée χ est distant à l'instant $t_{0}$ de

$D=a(t)\chi$.

Pour que cet objet ait pu émettre de la lumière que nous recevons, il faut que l'intervalle en temps conforme $\Delta \eta$ entre émission et réception du signal soit égal à χ. La distance qui nous sépare d'un objet dont on reçoit la lumière est donc

$D=a(t_{0})\Delta \eta$.

En utilisant la formule reliant le temps conforme au temps cosmique, on trouve

$\Delta \eta =\int {\frac {c\;\mathrm {d} t}{a(t)}}$,

l'intégrale étant prise entre les instant d'émission du signal (noté $t_{*}$) et de réception, soit aujourd'hui ($t_{0}$). On a donc

$D=a(t_{0})\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c\;\mathrm {d} t}{a(t)}}$.

On peut en toute généralité définir le décalage vers le rouge par le rapport entre les distances entre deux galaxies lointaines à une époque donnée et aujourd'hui, selon la formule

${\frac {1}{1+z(t)}}={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}$,

écriture qui signifie que l'on relie l'âge de l'univers t à une époque donnée au décalage vers le rouge, que l'on observe aujourd'hui, d'un signal émis à cette époque, cette relation étant pour l'heure indéterminée. Finalement, on obtient

$D=\int _{t_{*}}^{t_{0}}\left(1+z(t)\right)c\;\mathrm {d} t$.

 

Pour calculer cette quantité, il faut connaître la relation $z(t)$, c'est-à-dire la relation entre le décalage vers le rouge de la lumière émise par un objet et l'âge de l'Univers à l'époque où celui-ci a émis le rayonnement reçu aujourd'hui. En d'autre terme, il faut connaître la relation entre le facteur d'échelle et le temps cosmique. Cette relation est établie par les équations de Friedmann dont c'est précisément l'objet. On trouve alors, sous certaines hypothèse, la relation suivante :

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\Omega _{\mathrm {r} }^{0}+\Omega _{\mathrm {m} }^{0}x+(1-\Omega _{\mathrm {r} }^{0}-\Omega _{\mathrm {m} }^{0}-\Omega _{\Lambda }^{0})x^{2}+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{4}}}}$,

où $H_{0}$ représente l'actuel taux d'expansion de l'Univers (la constante de Hubble) et les différentes quantités Ω correspondent aux paramètres de densité des différentes espèces présentes dans l'Univers, à savoir rayonnement et particules de masse nulle (r), matière non relativiste (matière baryonique et matière noire, m) et constante cosmologique (Λ), mesurés aujourd'hui.

Démonstration

Partant de l'expression

$D_{\mathrm {h} }=a(t_{0})\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c\;\mathrm {d} t}{a(t)}}$,

on effectue un changement de variable, où l'on remplace le temps t par le facteur d'échelle a, en utilisant la formule donnant le taux d'expansion H de l'univers,

$H={\frac {1}{a}}{\frac {\mathrm {d} a}{\mathrm {d} t}}$,

d'où

$\mathrm {d} t={\frac {1}{H}}{\frac {\mathrm {d} a}{a}}$.

On obtient alors

$D_{\mathrm {h} }=a(t_{0})\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c}{H(a)}}{\frac {\mathrm {d} a}{a^{2}}}$,

le taux d'expansion étant alors vu non pas comme une fonction du temps t, mais du facteur d'échelle a. On définit ensuite x comme le facteur d'échelle normalisé à aujourd'hui, à savoir

$x={\frac {a(t)}{a(t_{0})}}={\frac {1}{1+z}}$, d'où

$D_{\mathrm {h} }=\int _{t_{*}}^{t_{0}}{\frac {c}{H(x)}}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}$.

En notant $H_{0}$ la valeur actuelle du taux d'expansion, on a

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {H_{0}}{H(x)}}{\frac {\mathrm {d} x}{x^{2}}}$,

la borne d'intégration correspondant à la valeur de x à l'époque $t_{*}$. Les équations de Friedmann permettent de relier le taux d'expansion aux densités d'énergie $\rho _{i}$du contenu matériel de l'univers selon (voir Équations de Friedmann)

$3\left({\frac {H^{2}}{c^{2}}}+{\frac {K}{a^{2}}}\right)=\kappa \sum _{i}\rho _{i}$,

la constante κ étant la constante d'Einstein. Les densité d'énergie des espèces concernées sont des fonctions du temps, et donc du facteur d'échelle. Pour une espèce dont le rapport de la pression à la densité d'énergie est $w_{i}$, la densité varie en fonction du facteur d'échelle selon (voir Équation de conservation (cosmologie))

$\rho _{i}\propto a^{-3(1+w_{i})}$.

Sans perte de généralité, on peut donc écrire les densités fonction des densités d'énergie actuelles $\rho _{i}^{0}$selon

$\rho _{i}=\rho _{i}^{0}x^{-3(1+w_{i})}$,

la quantité $w_{i}$ étant une constante ou une fonction du temps (ou de x, ce qui revient au même).

En définissant la densité critique actuelle par

$\rho _{\mathrm {c} }={\frac {3H_{0}}{\kappa c^{2}}}$,

il vient, en divisant par $3H_{0}^{2}/c^{2}$,

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}+{\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a^{2}}}=\sum _{i}\Omega _{i}^{0}x^{-3(1+w_{i})}$,

les quantité $\Omega _{i}^{0}$ étant les paramètres de densité actuels, définis par le rapport $\rho _{i}^{0}/\rho _{\mathrm {c} }$. En évaluant cette équation aujourd'hui (où $H=H_{0}$ et $x=1$), il vient

$1+{\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}=\sum _{i}\Omega _{i}^{0}$,

On a ainsi

${\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a^{2}}}={\frac {Kc^{2}}{H_{0}^{2}a_{0}^{2}}}{\frac {1}{x^{2}}}=-\left(1-\sum _{i}\Omega _{i}^{0}\right){\frac {1}{x^{2}}}$,

pour finalement obtenir

${\frac {H^{2}}{H_{0}^{2}}}=\sum _{i}\Omega _{i}^{0}x^{-3(1+w_{i})}+\left(1-\sum _{i}\Omega _{i}^{0}\right){\frac {1}{x^{2}}}$.

La quantité D recherchée s'exprime donc selon

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\sum _{i}\Omega _{i}^{0}x^{1-3w_{i}}+\left(1-\sum _{i}\Omega _{i}^{0}\right)x^{2}}}}$.

Dans le cas où le contenu matériel de l'univers se réduit à de la radiation (pression égale à un tiers de la densité d'énergie, $w_{\mathrm {r} }=1/3$), de la matière non relativiste (pression négligeable, $w_{\mathrm {m} }=0$) et une constante cosmologique (pression opposée à la densité d'énergie, $w=-1$), alors on retrouve bien

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\Omega _{\mathrm {r} }^{0}+\Omega _{\mathrm {m} }^{0}x+\left(1-\Omega _{\mathrm {r} }^{0}-\Omega _{\mathrm {m} }^{0}-\Omega _{\Lambda }^{0}\right)x^{2}+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{4}}}}$.

 

Application au modèle standard de la cosmologie

Le modèle standard de la cosmologie bâti à partir de l'ensemble des observations cosmologiques (et compatibles avec elles) indique que la densité d'énergie sous forme de rayonnement est négligeable devant les autres formes (matière et énergie noire), ce qui équivaut à dire que le terme $\Omega _{\mathrm {r} }^{0}$ peut être négligé. De plus, le modèle exclut une valeur notable de la courbure spatiale, ce qui signifie que la somme des paramètres de densité vaut 1. Finalement, il reste donc

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {\Omega _{\mathrm {m} }^{0}x+(1-\Omega _{\mathrm {m} }^{0})x^{4}}}}$.

La quantité $c/H_{0}$ est appelée rayon de Hubble. Avec la valeur communément admise de 70 kilomètres par seconde et par mégaparsec pour la constante de Hubble, le rayon de Hubble est d'environ 14 milliards d'années lumière. Le terme dans l'intégrale ne peut être calculé analytiquement, mais une intégration numérique peut être effectuée sans difficulté en prenant pour $\Omega _{\mathrm {m} }$ la valeur communément admise d'environ 0,3. L'on trouve alors que l'intégrale est légèrement supérieure à 3, que la borne d'intégration soit de 0 (on considère la distance maximale parcourue par tout signal émis depuis le Big Bang) ou d'un millième (correspondant à un photon du fond diffus cosmologique, émis lors de la recombinaison). Finalement, on retrouve bien la valeur de l'ordre de 45 milliards d'années-lumière annoncée plus haut.

Cas particuliers

Dans le cas où l'univers possède la densité critique et n'est composé que d'une espèce, dont le rapport de la pression à la densité d'énergie est w, on a

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{1-3w}}}}$.

Cette intégrale peut être évaluée selon plusieurs cas

Univers de radiation (w = 1/3)

On a immédiatement

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}\mathrm {d} x\simeq {\frac {c}{H_{0}}}$,

l'égalité ci-dessus étant une approximation, car on n'a pas tenu compte de la valeur exacte de la borne inférieure (prise à 0 ici alors qu'elle pourrait être prise à une valeur légèrement positive). Dans ce cas, la taille de l'horizon correspond exactement au rayon de Hubble.

Univers de poussière (w = 0)

On a désormais

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x}}}\simeq 2{\frac {c}{H_{0}}}$.

Dans ce cas, la taille de l'horizon correspond exactement au double du rayon de Hubble.

Univers à équation d'état constante

Plus généralement, on a, dans le cas où w est constant et supérieur à $-1/3$,

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}x^{\frac {3w-1}{2}}\mathrm {d} x\simeq {\frac {2}{3w+1}}{\frac {c}{H_{0}}}$.

D'une manière générale, plus l'équation d'état est « dure » (c'est-à-dire w grand), plus la taille de l'horizon est faible en unité du rayon de Hubble. Ceci peut être rendu plus explicite en utilisant la relation existant entre âge de l'Univers $t_{0}$et rayon de Hubble. Les équations de Friedmann indiquent que

$t_{0}={\frac {2}{3(1+w)}}{\frac {1}{H_{0}}}$.

En combinant ces deux derniers résultats, il vient

$D_{\mathrm {h} }\simeq {\frac {3w+3}{3w+1}}ct_{0}$.

Ce résultat tend vers $ct_{0}$ quand w tend vers l'infini. Cela s'interprète par le fait que cette limite correspond en fait au cas idéalisé où la matière tend à être incompressible (une variation de pression arbitrairement grande donnant lieu à une petite variation de densité, ce qui est le cas si $P=w\rho$ est grand car alors $\delta P/\delta \rho =w\gg 1$). Dans ce cas, une telle matière a tendance à arrêter sa phase d'expansion le plus rapidement possible (elle s'oppose à une variation de son volume), ce qui fait que la phase d'expansion qui suit immédiatement le Big Bang s'arrête très vite, et que l'expansion tend à cesser. Dans un tel cas, on est dans une situation identique à celle de l'espace de Minkowski où au bout du temps $t_{0}$ on peut recevoir des signaux distants de $ct_{0}$. À noter cependant que le cas $w>1$ est a priori physiquement irréaliste, car l'équation d'état est acausale : la vitesse du son dans un tel fluide, donnée par $c_{s}=c{\sqrt {\delta P/\delta \rho }}$ dépasse celle de la lumière. À l'inverse, l'intégrale diverge quand w tend vers la valeur -1/3 (voir ci-dessous).

Univers de Milne (w = –1/3)

L'univers de Milne correspond à un espace vide de matière. Dans ce cas, tous les paramètres de densité sont nuls, ce qui formellement, du point de vue des équations de Friedmann, peut s'interpréter comme un univers ayant la densité critique et un paramètre d'équation d'état w égal à –1/3. Il vient

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}\int _{*}^{1}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}={\frac {c}{H_{0}}}\ln \left(1+z_{*}\right)$.

La primitive à calculer donne un logarithme. Il faut ici prendre soigneusement en compte la valeur de la borne inférieure. Si cette borne est nulle ($z_{*}\to \infty$), alors l'intégrale est infinie. Ce résultat tend à indiquer qu'il n'y a pas alors d'horizon, c'est-à-dire que toute région de l'univers est accessible à l'observation. Ceci peut se comprendre en remarquant que l'univers de Milne peut être vu comme une portion de l'espace de Minkowski, avec une origine d'où sont issues les particules fictives qui marquent l'expansion de l'univers en se déplaçant à vitesse constante (voir Univers de Milne). Dans un tel cas, toutes les lignes d'univers de ces particules fictives s'intersectent les unes les autres à l'origine et sont donc toutes dans le cône de lumière passé des unes et des autres, ce qui fait que la totalité de l'univers est nécessairement observable. Si par contre on met une borne inférieure non nulle à l'intégrale, on impose de ne recevoir que des signaux dont le décalage vers le rouge n'excède pas une certaine valeur, c'est-à-dire issues de particules dont la vitesse n'excède pas non plus une certaine valeur. Dans ce cas, seule une portion finie de cet univers est effectivement accessible.

Univers en accélération (w < –1/3)

Dans le cas où le paramètre de l'équation d'état est inférieur à –1/3, l'intégrale diverge également pour une borne inférieure nulle

$D_{\mathrm {h} }={\frac {c}{H_{0}}}{\frac {2}{3w+1}}\left[1-\left({\frac {1}{1+z_{*}}}\right)^{\frac {3w+1}{2}}\right]$.

Il n'y a donc pas d'horizon cosmologique dans un tel espace, et en particulier pour l'univers de de Sitter.

Relation avec les théorèmes sur les singularités

Ces résultats, en particulier le fait que l'univers possède un horizon quand le paramètre de l'équation d'état w est toujours supérieur à –1/3 s'avère être un cas particulier des théorèmes sur les singularités de Stephen Hawking et Roger Penrose. La contrainte imposée à w est en effet équivalente à la condition forte sur l'énergie, supposée pour permettre la validité de ces théorèmes. Une autre conséquence est que l'univers est alors, dans le cadre de la relativité générale, nécessairement issu d'une singularité gravitationnelle. Il est cependant relativement avéré aujourd'hui que la condition forte sur l'énergie n'a pas forcément été respectée dans l'Univers primordial (voir ci-dessous). Dans ce cadre, le fait que l'Univers observable s'étende sur une région finie ne préjuge pas du fait qu'il soit issu d'une singularité.

Relation avec le problème de l'horizon

En observant l'Univers le plus loin possible dans deux directions opposées, on voit des régions séparées du double de la taille de l'horizon. Ces deux régions n'ont par définition pas eu la possibilité de communiquer entre elles. Il serait dans ce cas logique de s'attendre à ce que ces régions possèdent des propriétés différentes. Observationnellement il n'en est rien. Ce fait observationnel est connu sous le nom de problème de l'horizon. La solution au problème de l'horizon s'obtient en considérant un scénario dans lequel la taille de l'Univers observable (délimité par la limite de la surface de dernière diffusion, et en tenant compte de la borne inférieure d'intégration non nulle, $1/(1+z_{*})$) ne correspond pas du tout à la taille réelle de l'horizon, considérée en prenant une borne d'intégration nulle (ou arbitrairement petite, si l'on considère, par exemple, que les lois de la physique, telles que nous les connaissons, commencent à être valables au sortir de l'ère de Planck). Pour ce faire, l'on est amené à considérer un scénario où l'évolution du taux d'expansion de l'Univers est significativement différente à des époques anciennes (correspondant aux petites valeurs de x dans l'intégrale). Les scénarios sont amenés alors à considérer des situations où l'expression ${\sqrt {\Omega _{\mathrm {r} }^{0}+\Omega _{\mathrm {m} }^{0}x+\left(1-\Omega _{\mathrm {r} }^{0}-\Omega _{\mathrm {m} }^{0}-\Omega _{\Lambda }^{0}\right)x^{2}+\Omega _{\Lambda }^{0}x^{4}}}$, proportionnelle au rapport du taux d'expansion à l'époque où le facteur d'échelle était x fois plus petit qu'aujourd'hui au taux d'expansion actuel, doit être remplacé par une expression qui tend vers 0 (ou en tout cas est très petite) quand x tend vers 0. Cela peut se produire si la matière qui existe à cette époque possède un paramètre w inférieur à –1/3.

Articles connexes

• Univers observable
• Horizon (physique)