Première démonstration : par l'inégalité de réarrangement
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On suppose, sans perte de généralité, que .
On a alors :
En appliquant deux fois l'inégalité de réarrangement, il vient :
et
En ajoutant ces deux inégalités, on obtient :
c'est-à-dire
dont on déduit l'inégalité de Nesbitt.
Deuxième démonstration : par l'inégalité arithmético-harmonique
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Par l'inégalité arithmético-harmonique portant sur ,
Après simplification,
dont on obtient
après développement et rassemblement par dénominateur. D'où le résultat.
Troisième démonstration : par l'inégalité de Cauchy–Schwarz
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En appliquant l'inégalité de Cauchy–Schwarz aux vecteurs , il vient
forme qui est similaire à celle de la preuve précédente.
Quatrième démonstration : par l'inégalité arithmético-géométrique
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Appliquons d'abord une transformation de Ravi : posons . Appliquons l'inégalité arithmético-géométrique aux six nombres pour obtenir
Après division par , on obtient
Exprimons à présent en fonction de :
qui, après simplification, donne le résultat.
Cinquième démonstration : par le lemme de Titu
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Le lemme de Titu, conséquence directe de l'inégalité de Cauchy–Schwarz, indique que pour toutes familles de réels et de réels positifs , . Utilisons ce lemme pour avec les familles et :
Après développement
ce qui donne
Or, l'inégalité de réarrangement donne , ce qui prouve que le quotient de droite est inférieur ou égal à . Finalement,
Sixième démonstration : utilisation de l'homogénéité
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Puisque la partie gauche de l'inégalité est homogène, nous pouvons supposer . En posant , , et . Il suffit de montrer , c'est-à-dire, . Une simple application du lemme de Titu fournit le résultat.
Septième démonstration : par l'inégalité de Jensen
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Nous supposons ici aussi . On recherche alors le minimum de
.
Or la fonction définie par est convexe sur , donc d'après l'inégalité de Jensen :
,
d’où l'inégalité voulue.
Huitième démonstration : par l'inégalité de Muirhead
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L'inégalité équivaut à .
Avec les notations introduites dans la page sur l'inégalité de Muirhead, cela équivaut à , ce qui s'obtient par le théorème de Muirhead car majorise [1].
L'inégalité équivaut à ,
or le premier membre peut se mettre sous la forme ,
ce qui prouve l'inégalité, et montre de plus que le cas d'égalité est [1].