Indice de Theil

Type	Mesure de l'inégalité de revenu (en)
Inventeur	Henri Theil

L’indice de Theil est un indice de mesure d'inégalité fondé sur l'entropie de Shannon :

un indice de 0 indique une égalité absolue ;
un indice de 0,5 indique une inégalité représentée par une société où 74 % des individus ont 26 % des ressources et 26 % des individus ont 74 % des ressources ;
un indice de 1 indique une inégalité représentée par une société où 82,4 % des individus ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des individus ont 82,4 % des ressources^[1].

Formule

Illustration de la relation entre l'indice de Theil T et l'indice de Hoover H (différence *T-H* et quotient *T/H*) pour des sociétés divisées en deux quantiles, ou A % des peuples ont B % des ressources et B % des peuples ont A % de toutes les ressources. A+B=100 %. Pour de telles sociétés, l'indice de Hoover et le coefficient de Gini sont les mêmes mesures. $T = T_{T} = T_{L} = T_{s} = 2 H argtanh (H)$

Formule^[2] pour l'indice de Theil $T$ :

$N$ : nombre des quantiles,
$E_{i}$ : ressources pour le quantile i,
$A_{i}$ : effectif dans le quantile i,
$E_{t o t a l}$ : ressources pour tous les quantiles dans une société (une nation, etc.),
$A_{t o t a l}$ : effectif de la société (de la nation, etc.).

$T_{T} = \ln \frac{A_{t o t a l}}{E_{t o t a l}} - \frac{\sum_{i = 1}^{N} E_{i} \ln \frac{A_{i}}{E_{i}}}{E_{t o t a l}}$

En cas de $E'_{i} = E_{i} / E_{total}$ et $A'_{i} = A_{i} / A_{total}$ :
$T_{T} = 0 - \frac{\sum_{i = 1}^{N} E'_{i} \ln \frac{A'_{i}}{E'_{i}}}{1} = \sum_{i = 1}^{N} E'_{i} \ln \frac{E'_{i}}{A'_{i}}$

C'est l'inégalité par référence aux ressources. La partie à gauche est l'entropie maximale (aussi par référence aux ressources) d'une société sans inégalité distributive. La partie à droite est l'entropie réelle de la société, causée par l'inégalité distributive de cette société. Par référence à la théorie de l'information^[3], une telle différence est la redondance.

L'inégalité par référence à la population :

$T_{L} = \ln \frac{E_{t o t a l}}{A_{t o t a l}} - \frac{\sum_{i = 1}^{N} A_{i} \ln \frac{E_{i}}{A_{i}}}{A_{t o t a l}}$

En cas de $E'_{i} = E_{i} / E_{total}$ et $A'_{i} = A_{i} / A_{total}$ :
$T_{L} = 0 - \frac{\sum_{i = 1}^{N} A'_{i} \ln \frac{E'_{i}}{A'_{i}}}{1} = \sum_{i = 1}^{N} A'_{i} \ln \frac{A'_{i}}{E'_{i}}$

L'opération^[4] pour normaliser les indices de Theil est $1 - e^{- T}$

L'indice de Theil et indice de Hoover

La moyenne de ces deux formules^[5] est un indice symétrique :

$T_{s} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} \ln \frac{E_{i}}{A_{i}} (\frac{E_{i}}{E_{total}} - \frac{A_{i}}{A_{total}})$

La moyenne est très convenable par comparaison avec le plus simple des indices d'inégalité : l'indice de Hoover. La différence est indiquée par la couleur bleue.

$H = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} | \frac{E_{i}}{E_{total}} - \frac{A_{i}}{A_{total}} |$

Décomposition

Si pour les sous-groupes $k$ les sous-indices de Theil sont connus : $T_{T} = \ln \frac{A_{t o t a l}}{E_{t o t a l}} - \frac{\sum_{i = 1}^{N} E_{i} (\ln \frac{A_{i}}{E_{i}} - T_{T_{i}})}{E_{t o t a l}}$

$T_{L} = \ln \frac{E_{t o t a l}}{A_{t o t a l}} - \frac{\sum_{i = 1}^{N} A_{i} (\ln \frac{E_{i}}{A_{i}} - T_{L_{i}})}{A_{t o t a l}}$

$T_{s} = \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} \ln \frac{E_{i}}{A_{i}} (\frac{E_{i}}{E_{total}} - \frac{A_{i}}{A_{total}}) + \frac{E_{i}}{E_{total}} T_{T_{i}} + \frac{A_{i}}{A_{total}} T_{L_{i}}$

Fonction de bien-être

Il est possible de calculer la fonction de bien-être (welfare function) proposée par Amartya Sen et James A. Foster (1996)^[6] par cette formule :

$W_{Theil-L} = \overline{r e v e n u} \cdot e^{- T_{L}} = \frac{E_{t o t a l}}{A_{t o t a l}} e^{- T_{L}} = e^{\frac{\sum_{i = 1}^{N} A_{i} (\ln \frac{E_{i}}{A_{i}} - T_{L_{i}})}{A_{t o t a l}}} = \prod_{i = 1}^{N} {(\frac{E_{i}}{A_{i}} e^{- T_{L_{i}}})}^{\frac{A_{i}}{A_{t o t a l}}}$

Le revenu moyen d'une personne dans une société dont les revenus sont inégaux ne décrit pas le revenu $E_{i}$ de la majorité des citoyens. La fonction de bien-être peut remplacer la médiane. La valeur de la fonction de bien-être est toujours plus petite que le revenu moyen.

Si on prend un € du revenu total de cette société, cet € sera part d'un revenu $E_{i}$ plus grand que le revenu moyen :

$W_{Theil-T}^{- 1} = \overline{r e v e n u} \cdot e^{T_{T}} = \frac{E_{t o t a l}}{A_{t o t a l}} e^{T_{T}} = e^{\frac{\sum_{i = 1}^{N} E_{i} (\ln \frac{E_{i}}{A_{i}} + T_{T_{i}})}{E_{t o t a l}}} = \prod_{i = 1}^{N} {(\frac{E_{i}}{A_{i}} e^{T_{T_{i}}})}^{\frac{E_{i}}{E_{t o t a l}}}$

Références

↑ Exemple (voir aussi: Principe de Pareto): 82,4 % des peuples ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des peuples ont 82,4 % de toutes les ressources : http://www.poorcity.richcity.org/calculator/?quantiles=82.4,17.6|17.6,82.4
↑ E et A sont utilisés comme tels par Lionnel Maugis: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (pour IFORS 96), 1996 (CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, France)
↑ ISO/IEC DIS 2382-16:1996
↑ Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties, 2005
↑ Elhanan Helpman: The Mystery of Economic Growth, 2004, (ISBN 0-674-01572-X) (Ces deux formules pour $T_{T}$ et $T_{L}$ sont similaires aux formules page 150.)
↑ James E. Foster und Amartya Sen, 1996, On Economic Inequality, expanded edition with annexe, page 129, (ISBN 0-19-828193-5)

Voir aussi

Littérature

(en) Amiel, Y.: Thinking about inequality, Cambridge 1999.
(en) Cowell, Frank A. (2002, 2003): Theil, Inequality and the Structure of Income Distribution, London School of Economics and Political Sciences (sur la classe des indices de Kolm)
(en) Sen, Amartya: On Economic Inequality (Enlarged Edition with a substantial annexe “On Economic Inequality” after a Quarter Century with James Foster), Oxford 1997, (ISBN 0-19-828193-5)
(en) Tsui, Kai-Yuen (1995): Multidimensional Generalizations of the Relative and Absolute Inequality Indices: The Atkinson-Kolm-Sen Approach. Journal of Economic Theory 67, 251-265.

Liens externes

La répartition du revenu disponible (Répartition par tranche de revenu des ménages, Source : Insee. Année des données : 2004, enquête revenus fiscaux) et les mesures d'inégalité

Portail de l’économie

[1] Exemple (voir aussi: Principe de Pareto): 82,4 % des peuples ont 17,6 % des ressources et 17,6 % des peuples ont 82,4 % de toutes les ressources : http://www.poorcity.richcity.org/calculator/?quantiles=82.4,17.6|17.6,82.4

[2] E et A sont utilisés comme tels par Lionnel Maugis: Inequality Measures in Mathematical Programming for the Air Traffic Flow Management Problem with En-Route Capacities (pour IFORS 96), 1996 (CENA - Centre d'études de la Navigation Aérienne, France)

[3] ISO/IEC DIS 2382-16:1996

[normtheil-4] Juana Domínguez-Domínguez, José Javier Núñez-Velázquez: The Evolution of Economic Inequality in the EU Countries During the Nineties, 2005

[Helpman-5] Elhanan Helpman: The Mystery of Economic Growth, 2004, (ISBN 0-674-01572-X) (Ces deux formules pour $T_{T}$ et $T_{L}$ sont similaires aux formules page 150.)

[6] James E. Foster und Amartya Sen, 1996, On Economic Inequality, expanded edition with annexe, page 129, (ISBN 0-19-828193-5)

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