Intégrale produit

En analyse, une intégrale produit est l'équivalent de l'intégrale classique en calcul différentiel qui, au lieu de se baser sur une somme, utilise le produit. L'intégrale produit a été développée par le mathématicien Vito Volterra en 1887 pour la résolution de systèmes d'équations différentielles linéaires.

Description informelle

L'intégrale de Riemann classique d'une fonction réelle $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ peut être dans son principe, définie par l'égalité $$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=\lim _{\Delta x\to 0}\sum f(x_{i})\,\Delta x,$$ où la limite est prise sur toutes les partitions de l'intervalle $[a,b]$ dont les normes tendent vers zéro. Les intégrales produits reprennent le même principe en considérant la limite d'un produit au lieu de la limite d'une somme. Elles peuvent être ainsi considérées comme des versions « continues » des produits « discrets ». Elles sont définies par $$\prod _{a}^{b}\left(1+f(x)\,\mathrm {d} x\right)=\lim _{\Delta x\to 0}\prod \left(1+f(x_{i})\,\Delta x\right).$$

Dans le cas de $f:[a,b]\longrightarrow \mathbb {R}$, l'intégrale produit se réduit à l'intégrale de Lebesgue, c'est-à-dire à l'analyse classique. Ainsi, des cas intéressants apparaissent pour les fonctions $f:[a,b]\to A$ où $A$ est soit une algèbre commutative, comme un corps de matrices de dimension finie, soit si $A$ est une algèbre non commutative. Les théories relatives à ces deux cas diffèrent considérablement. Le cas non commutatif est bien plus complexe ; il requiert un ordre de chemin approprié pour que l’intégrale soit bien définie.

Cas commutatif

Dans le cas commutatif, trois définitions distinctes sont couramment utilisées dans la littérature : les intégrales de type I, de type II (ou géométriques) et de type III (ou bigéométriques). Ces intégrales sont utilisées en épidémiologie (dans le calcul de l'estimateur de Kaplan-Meier ) et en dynamique stochastique des populations. L’intégrale géométrique, associée à sa dérivée, est utile en analyse d’images et dans l’étude des phénomènes de croissance et de décroissance (par exemple, la croissance économique, la croissance bactérienne et la décroissance radioactive). L'intégrale bigéométrique, associée à sa dérivée, est utile dans certaines applications des fractales et dans la théorie de l’élasticité en économie.

Cas non commutatif

Le cas non commutatif se rencontre fréquemment en mécanique quantique et en théorie quantique des champs. L'intégrande est généralement un opérateur appartenant à une algèbre non commutative. Dans ce cas, il est essentiel d'établir un ordre de chemin lors de l'intégration. Un résultat typique est l'exponentielle ordonnée (en). Le développement de Magnus fournit une technique pour calculer l'intégrale de Volterra. On peut citer comme exemples le développement de Dyson, les intégrales intervenant dans le développement en produits d'opérateurs et la ligne de Wilson, qui est une intégrale produit définie sur un champ de jauge. La boucle de Wilson est la trace d'une ligne de Wilson. L'intégrale produit apparaît également en théorie du contrôle, sous la forme de la série de Peano-Baker (en) décrivant les transitions d'état dans les systèmes linéaires écrits sous forme d'équation maîtresse.

Cas général (non commutatif)

L'intégrale de Volterra est particulièrement utile lorsqu'elle est appliquée aux fonctions à valeurs matricielles ou à valeurs dans une algèbre de Banach. Appliquée aux scalaires appartenant à un corps non commutatif, aux matrices et aux opérateurs (c'est-à-dire aux objets mathématiques qui ne commutent pas), l'intégrale de Volterra se divise en deux définitions.

L'intégrale produit à gauche est $$P(A,D)=\prod _{i=m}^{1}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1}).$$ Avec cette notation des produits à gauche (c'est-à-dire des produits normaux appliqués à partir de la gauche), $$\prod _{a}^{b}(\mathbb {1} +A(t)dt)=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D).$$

L'intégrale produit à droite est $$P(A,D)^{*}=\prod _{i=1}^{m}(\mathbb {1} +A(\xi _{i})\Delta t_{i})=(\mathbb {1} +A(\xi _{1})\Delta t_{1})\cdots (\mathbb {1} +A(\xi _{m})\Delta t_{m}).$$ Avec cette notation des produits de droite (c'est-à-dire appliqués à partir de la droite), $$(\mathbb {1} +A(t)dt)\prod _{a}^{b}=\lim _{\max \Delta t_{i}\to 0}P(A,D)^{*},$$ où $\mathbb {1}$ est la matrice identité et $D$ est une partition de l'intervalle $[a,b]$ au sens de Riemann, c'est-à-dire que la limite porte sur l'intervalle maximal de la partition. On peut remarquer que, dans le cas décrit ici, l'ordre temporel apparaît clairement dans les définitions.

Le développement de Magnus fournit une technique pour calculer l'intégrale produit, en définissant une version en temps continu de la formule de Baker-Campbell-Hausdorff.

L'intégrale produit satisfait un ensemble de propriétés définissant un groupe continu à un paramètre ; on trouve des applications dans les définitions de la série de Dyson et la série de Peano-Baker.

Cas commutatif

Le cas commutatif est beaucoup plus simple et, de ce fait, une grande variété de notations et de définitions distinctes ont vu le jour. Trois styles distincts sont couramment utilisés dans la littérature. Dans cette sous-section, on adoptera le symbole ${\textstyle \prod }$ pour l'intégration produit au lieu du signe intégrale ${\textstyle \int }$ (généralement modifié par la superposition d'un symbole × ou de la lettre P) privilégié par Volterra et d'autres. Une classification arbitraire des types est adoptée afin d'imposer un certain ordre dans le domaine.

Lorsque la fonction à intégrer est à valeurs réelles, la théorie se résume exactement à la théorie de l'intégration de Lebesgue.

Type I : Intégrale de Volterra

L'intégrale produit de type I correspond à la définition originale de Volterra^{[page à préciser]}. La relation suivante existe pour les fonctions scalaires ${\textstyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }$: $$\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}=\exp \left(\int _{a}^{b}f(x)\,dx\right).$$

Type II : Intégrale géométrique

$$\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}=\lim _{\Delta x\to 0}\prod {f(x_{i})^{\Delta x}}=\exp \left(\int _{a}^{b}\ln f(x)\,dx\right),$$ est appelée intégrale géométrique. Le logarithme est bien défini si ${\textstyle f}$ prend des valeurs sur les nombres réels ou complexes, ou si ${\textstyle f}$ prend des valeurs sur un corps commutatif ou des opérateurs de classe trace commutatifs. Cette définition de l'intégrale produit est l'analogue continu de l'opérateur produit discret usuel ${\textstyle \prod _{i=a}^{b}}$ (avec ${\textstyle i,a,b\in \mathbb {Z} }$) et l'opérateur multiplicatif analogue l'intégrale (normale/standard/additive) ${\textstyle \int _{a}^{b}dx}$ (avec ${\textstyle x\in [a,b]}$) :

Opérateurs additifs et multiplicatifs discrets et continus

Taper	additif	multiplicatif
discret	$\sum _{i=a}^{b}f(i)$	$\prod _{i=a}^{b}f(i)$
continu	$\int _{a}^{b}f(x)\,dx$	$\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}$

Elle est très utile en stochastique, où la log-vraisemblance (c'est-à-dire le logarithme d'une intégrale produit de variables aléatoires indépendantes ) est égale à l'intégrale du logarithme de ces variables aléatoires ( infiniment nombreuses) : $$\ln \prod _{a}^{b}p(x)^{dx}=\int _{a}^{b}\ln p(x)\,dx.$$

Type III : Intégrale bigéométrique

$$\prod _{a}^{b}f(x)^{d(\ln x)}=\exp \left(\int _{\ln(a)}^{\ln(b)}\ln f(e^{x})\,dx\right),$$ L'intégrale produit de type III est appelée intégrale bigéométrique.

Propriétés

Dans le cas commutatif, les résultats suivants sont valables pour l'intégrale produit de type II (l'intégrale géométrique). $${\begin{aligned}\prod _{a}^{b}c^{dx}&=c^{b-a},\\\prod _{a}^{b}x^{dx}&={\frac {b^{b}}{a^{a}}}{\rm {e}}^{a-b},\\\prod _{0}^{b}x^{dx}&=b^{b}{\rm {e}}^{-b},\end{aligned}}$$ $${\begin{aligned}\prod _{a}^{b}\left(f(x)^{k}\right)^{dx}&=\left(\prod _{a}^{b}f(x)^{dx}\right)^{k},\\\prod _{a}^{b}\left(c^{f(x)}\right)^{dx}&=c^{\int _{a}^{b}f(x)\,dx}.\end{aligned}}$$

L'intégrale géométrique (type II ci-dessus) joue un rôle central dans l'analyse géométrique qui est une analyse multiplicative. L'inverse de l'intégrale géométrique, qui est la dérivée géométrique, est notée ${\textstyle f^{*}(x)}$, est définie à l'aide de la relation suivante : $$f^{*}(x)=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right).$$

Pour X une variable aléatoire de fonction de répartition F(x), on a les propriétés suivantes :

Théorème fondamental de l'analyse

$$\prod _{a}^{b}f^{*}(x)^{dx}=\prod _{a}^{b}\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx\right)={\frac {f(b)}{f(a)}},$$

Formule de Leibniz

$$(fg)^{*}=f^{*}g^{*}.$$ $$(f/g)^{*}=f^{*}/g^{*}.$$

Loi des grands nombres

$${\sqrt[{n}]{X_{1}X_{2}\cdots X_{n}}}{\underset {n\to \infty }{\longrightarrow }}\prod _{x}X^{dF(x)}.$$

Cas commutatif : intégrales produit de type Lebesgue

Lorsque l'intégrande prend ses valeurs dans l'ensemble des nombres réels, les intervalles produit se manipulent aisément à l'aide de fonctions simples. De même que pour les intégrales classiques de type Lebesgue, on peut calculer les intégrales produit en les approchant par des intégrales produit de fonctions étagées. Le cas des intégrales géométriques de type II se réduit alors exactement à celui de l'intégration de Lebesgue classique.

Type I : Intégrale de Volterra

Puisque les fonctions étagées généralisent les fonctions en escalier, on ne considérera dans la suite que le cas particulier des fonctions simples. Cela facilitera également la comparaison entre les définitions des intégrales de Lebesgue et de Riemann.

Étant donné une fonction en escalier $f:[a,b]\to \mathbb {R}$ avec une partition marquée $$a=x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}=b,\quad x_{0}\leq t_{1}\leq x_{1},x_{1}\leq t_{2}\leq x_{2},\dots ,x_{n-1}\leq t_{n}\leq x_{n},$$ une approximation de la « définition de Riemann » de l' intégrale de produit de type I est donnée par $$\prod _{k=1}^{n}\left[{\big (}1+f(t_{k}){\big )}\cdot (x_{k}-x_{k-1})\right].$$

L'intégrale de produit (de type I) a été définie comme étant, dans l'idée, la limite de ces produits par Ludwig Schlesinger dans un article de 1931.

Une autre approximation de la « définition de Riemann » de l'intégrale produit de type I est définie comme suit : $$\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(t_{k})\cdot (x_{k}-x_{k-1}){\big )}.$$

Si $f$ est une fonction constante, la limite de la première approximation est égale à celle de la seconde. Il est à noter qu'en général, pour une fonction en escalier, la valeur de la seconde approximation ne dépend pas de la partition, pourvu que celle-ci soit un raffinement de la partition définissant la fonction en escalier, tandis que la valeur de la première approximation dépend directement de la finesse de la partition, même lorsqu'il s'agit d'un raffinement de la partition définissant la fonction en escalier.

Il s'avère que pour toute fonction intégrable par produit ${\textstyle f}$, la limite du premier type d'approximation est égale à la limite du second type d'approximation. Puisque, pour les fonctions en escalier, la valeur du second type d'approximation ne dépend pas de la finesse de la partition pour les partitions « suffisamment fines », il est pertinent de définir l'« intégrale produit de Lebesgue (type I) » d'une fonction en escalier comme $$\prod _{a}^{b}{\big (}1+f(x)\,dx{\big )}\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\,\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}f(s_{k})\cdot (y_{k}-y_{k-1}){\big )},$$ où ${\textstyle y_{0}<a=s_{1}<y_{1}<\dots <y_{n-1}<s_{n}<y_{n}=b}$ la partition marquée correspondant à la fonction en⁠ escalier ${\textstyle f}$. (En revanche, la quantité correspondante ne serait pas définie sans ambiguïté en utilisant le premier type d'approximation).

Cela se généralise facilement à des espaces mesurés arbitraires. $X$ est un espace mesuré de mesure ${\textstyle \mu }$, alors pour toute fonction simple intégrable par produit $f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)$ (c'est-à-dire une combinaison conique des fonctions indicatrices pour certains ensembles mesurables disjoints ${\textstyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$, son intégrale produit de type I est définie comme $$\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\,\prod _{k=1}^{n}\exp {\big (}a_{k}\mu (A_{k}){\big )},$$ où ${\textstyle a_{k}}$ est la valeur de ${\textstyle f}$ en tout point de ${\textstyle A_{k}}$. Dans le cas particulier où ${\textstyle X=\mathbb {R} }$, ${\textstyle \mu }$ est la mesure de Lebesgue, et tous les ensembles ${\textstyle A_{k}}$ sont des intervalles, on peut vérifier que cela est égal à la définition donnée ci-dessus pour ce cas particulier. De manière analogue à la théorie de l'intégration de Lebesgue (classique), l'intégrale produit de type I de toute fonction produit-intégrable ${\textstyle f}$ être écrit comme la limite d'une suite croissante d'intégrales produits de Volterra de fonctions simples intégrables au produit.

En prenant le logarithme des deux membres de la définition ci-dessus, on obtient que pour toute fonction simple intégrable par produit ${\textstyle f}$: $${\begin{aligned}&\ln \left(\prod _{X}\left(1+f(x)\,d\mu (x)\right)\right)=\ln \left(\prod _{k=1}^{n}\exp \left(a_{k}\mu (A_{k})\right)\right)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}\mu (A_{k})=\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\\&\quad \iff \prod _{X}\left(1+f(x)\,d\mu (x)\right)=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right),\end{aligned}}$$ où on a utilisé la définition de l'intégrale pour les fonctions simples. De plus, comme les fonctions continues comme $\exp$ peuvent être interchangées avec les limites, et l'intégrale produit de toute fonction intégrable au produit $f$ est égale à la limite des intégrales produits de fonctions simples, il s'ensuit que la relation $$\prod _{X}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}=\exp \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)$$ vaut généralement pour toute fonction produit-intégrable ${\textstyle f}$. Ceci généralise clairement la propriété mentionnée ci-dessus.

L'intégrale de type I est multiplicative en tant que fonction d'ensemble, ce qui peut être démontré à l'aide de la propriété ci-dessus. Plus précisément, étant donné une fonction intégrable par produit $f$ on peut définir une fonction d'ensemble ${\cal {V}}_{f}$ en définissant, pour chaque ensemble mesurable ${\textstyle B\subseteq X}$, $${\cal {V}}_{f}(B)\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\,\prod _{B}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\,{\overset {\mathrm {def} }{=}}\,\prod _{X}{\big (}1+(f\cdot I_{B})(x)\,d\mu (x){\big )},$$ où $I_{B}(x)$ désigne la fonction indicatrice de ${\textstyle B}$, pour tous ensembles mesurables disjoints, $B_{1},B_{2}$ on a $${\begin{aligned}{\cal {V}}_{f}(B_{1}\sqcup B_{2})&=\prod _{B_{1}\sqcup B_{2}}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\\&=\exp \left(\int _{B_{1}\sqcup B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)+\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\exp \left(\int _{B_{1}}f(x)\,d\mu (x)\right)\exp \left(\int _{B_{2}}f(x)\,d\mu (x)\right)\\&=\prod _{B_{1}}(1+f(x)d\mu (x))\prod _{B_{2}}(1+f(x)\,d\mu (x))\\&={\cal {V}}_{f}(B_{1}){\cal {V}}_{f}(B_{2}).\end{aligned}}$$

Cette propriété peut être opposée aux mesures, qui sont des fonctions d'ensemble sigma-additives.

Cependant, l'intégrale de type I n'est pas multiplicative en tant que fonctionnelle. Étant donné deux fonctions intégrables par ${\textstyle f,g}$, et un ensemble mesurable ${\textstyle A}$, il est généralement vrai que $$\prod _{A}{\big (}1+(fg)(x)\,d\mu (x){\big )}\neq \prod _{A}{\big (}1+f(x)\,d\mu (x){\big )}\prod _{A}{\big (}1+g(x)\,d\mu (x){\big )}.$$

Type II : Intégrale géométrique

Si $X$ est un espace de mesure ${\textstyle \mu }$, alors pour toute fonction simple intégrable par produit $f(x)=\sum _{k=1}^{n}a_{k}I_{A_{k}}(x)$ (c'est-à-dire une combinaison conique des fonctions indicatrices pour certains ensembles mesurables disjoints ${\textstyle A_{1},A_{2},\dots ,A_{n}\subseteq X}$, son intégrale de produit de type II est définie comme $$\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\ {\overset {\mathrm {def} }{=}}\ \prod _{k=1}^{n}a_{k}^{\mu (A_{k})}.$$

On peut constater que cela généralise la définition donnée ci-dessus.

En prenant le logarithme des deux côtés, on constate que pour toute fonction simple intégrable par produit ${\textstyle f}$: $${\begin{aligned}&\ln \left(\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}\right)=\sum _{k=1}^{n}\ln(a_{k})\mu (A_{k})=\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\\&\quad \iff \prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right),\end{aligned}}$$ où la définition de l'intégrale de Lebesgue pour les fonctions simples a été utilisée. Cette observation, analogue à celle déjà faite pour les intégrales de type II ci-dessus, permet de réduire entièrement la « théorie de Lebesgue des intégrales géométriques de type II » à la théorie de Lebesgue des intégrales (classiques). Autrement dit, puisque les fonctions continues comme $\exp$ et $\ln$ peut être interchangé avec les limites, et l'intégrale produit de toute fonction intégrable au produit $f$ est égale à la limite d'une certaine suite croissante d'intégrales de produits de fonctions simples, il s'ensuit que la relation $$\prod _{X}f(x)^{d\mu (x)}=\exp \left(\int _{X}\ln f(x)\,d\mu (x)\right)$$ vaut généralement pour tout produit ${\textstyle f}$. Ceci généralise la propriété des intégrales géométriques mentionnée ci-dessus.

Applications

On peut retrouver l'intégrale produit en appliquant le principe de la méthode d'Euler pour la résolution d'un système d'équations différentielles linéaires :

${\begin{cases}Y'(t)&=A(t)Y(t)\\Y(a)&=Y_{0}\\\forall t\in [a,b]&\end{cases}}$

On a ainsi, pour $a=t_{0}<t_{1}<t_{2}<\ldots <t_{n}\leqslant b$:

${\begin{matrix}y(t_{0})&=&y_{0}\\y(t_{1})&=&(I+A(t_{0})\Delta t_{1})y(t_{0})&=&(I+A(t_{0})\Delta t_{1})y_{0}\\y(t_{2})&=&(I+A(t_{1})\Delta t_{2})y(t_{1})&=&(I+A(t_{1})\Delta t_{2})(I+A(t_{0})\Delta t_{1})y_{0}\\\vdots &&\vdots &&\vdots \\y(t_{n})&=&(I+A(t_{n-1})\Delta t_{n})y(t_{n-1})&=&\prod _{k=n-1}^{0}(I+A(t_{k})\Delta t_{k+1})y_{0}\end{matrix}}$

En supposant que les coefficients de $A$ sont continus en $t$, on peut montrer que le produit matriciel converge vers l'intégrale produit à gauche :

$\lim _{\max\{\Delta t_{k}\}\longrightarrow 0}\prod _{k=n-1}^{0}(I+A(t_{k})\Delta t_{k+1})=\prod _{a}^{b}(I+A(u)\mathrm {d} u)$

et on a alors :

$Y(t)=\prod _{a}^{t}(I+A(u)\mathrm {d} u)Y_{0}$

Pour une matrice constante, on retrouve alors l'exponentielle de matrice.

Voir aussi

• Mesure de Haar
• Itération de Picard
• Liste des dérivées et intégrales en calcul alternatif
• Produit indéfini (en)
• Dérivée logarithmique
• Exponentielle ordonnée (en)
• Dérivée fractale (en)

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Product integral » (voir la liste des auteurs).

Liens externes

• (en) Richard Gill, « Product Integration » [PDF], 2001
• (en) David Manura, « Product Calculus »
• (en) Tyler Neylon, « Easy bounds for n! » [PDF]
• (en) « An Introduction to Multigral (Product) and Dx-less Calculus » [archive]
• (en) Bill Hammel, « Notes On the Lax equation »
• (en) Antonín Slavík, « Henstock–Kurzweil and McShane product integration » [PDF]