j (nombre complexe)

En mathématiques, on définit le nombre complexe j comme l'unique racine cubique de 1 dont la partie imaginaire est strictement positive.

Les racines troisièmes de l'unité : 1 à droite, ${\rm {j}}={\rm {e}}^{\frac {2{\rm {i}}\pi }{3}}$en haut à gauche, et ${\rm {j}}^{2}={\rm {e}}^{\frac {-2{\rm {i}}\pi }{3}}$en bas à gauche.

${\rm {j}}=\exp \left({\frac {2\mathrm {i} \pi }{3}}\right)=-{\frac {1}{2}}+\mathrm {i} {\frac {\sqrt {3}}{2}},$ où exp désigne l'exponentielle complexe.

Le nombre j ne doit pas être confondu avec l'unité imaginaire i qui est souvent notée j en physique (pour mieux la distinguer de l'intensité électrique dont le symbole est i).

Histoire de la notation

La notation j pour désigner la racine cubique de unité à partie imaginaire positive serait apparu dans des manuels de mathématiques français. En effet, dans un contexte plus international, on lui préfère la notation ω.

Propriétés

Le nombre j possède certaines propriétés remarquables :

• comme toute racine de l'unité, son module vaut 1, autrement dit : son conjugué est égal à son inverse (donc à j²) ;
• les racines cubiques de l'unité sont 1, j et j² ; leur somme est nulle car j est racine du polynôme X³ – 1 = (X – 1)(X² + X + 1) ;
• dans le plan complexe, les trois points d'affixes 1, j et j² forment un triangle équilatéral ;
• le calcul de j³ ramène par définition à j³ = 1.

Application au calcul des racines cubiques

Tout nombre complexe non nul possède exactement trois racines cubiques. Si z est l'une d'entre elles, alors les deux autres sont j z et j²z.

Articles connexes

• Racine de l'unité
• Entier d'Eisenstein