K-théorie de Milnor

La K-théorie de Milnor, théorie mathématique introduite par John Milnor, fait partie des premières tentatives pour définir les groupes de K-théorie algébrique d'ordre supérieur.

Définition

Le calcul du K₂ d'un corps F a conduit Milnor à la définition ad hoc suivante des K-groupes d'indices supérieurs par

$K_{*}^{M}(F):=T^{*}F^{\times }/(a\otimes (1-a)),$

donc comme le quotient (gradué) de l'algèbre tensorielle du groupe abélien F^× par l'idéal bilatère engendré par les a ⊗ (1 – a) pour a ≠ 0, 1.

Le produit tensoriel sur $T^{*}F$ induit un produit $K_{m}^{M}\times K_{n}^{M}\to K_{m+n}^{M}$ qui fait de $K_{*}^{M}(F)$ un anneau gradué qui est commutatif (au sens gradué).

Propriétés

Structure d'anneau

Le module gradé $K_{*}^{M}(F)$ est un anneau gradé commutatif ^{pg 1-3} . Si nous écrivons

$(l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n}))\cdot (l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m}))$

comme

$l(a_{1})\otimes \cdots \otimes l(a_{n})\otimes l(b_{1})\otimes \cdots \otimes l(b_{m})$

alors pour $\xi \in K_{i}^{M}(F)$ et $\eta \in K_{j}^{M}(F)$ nous avons

$\xi \cdot \eta =(-1)^{i\cdot j}\eta \cdot \xi .$

La preuve de cette propriété fait apparaître d'autres propriétés, comme $$l(a)^{2}=l(a)l(-1)$$ pour $l(a)\in K_{1}(F)$, car $l(a)l(-a)=0$ . De plus, si la somme $a_{1}+\cdots +a_{n}$ d'éléments non nuls du corps est égal à 0 ou 1, alors $$l(a_{1})\cdots l(a_{n})=0$$ Il existe une application arithmétique directe : $-1\in F$ est une somme de carrés si et seulement si chaque $K_{n}^{M}(F)$ de dimension positive est nilpotent. Cette affirmation est puissante, et concerne la structure des K-groups de Milnor. En particulier, pour les corps $\mathbb {Q} (i)$, $\mathbb {Q} _{p}(i)$ avec ${\sqrt {-1}}\not \in \mathbb {Q} _{p}$, tous ses K-groups de Milnor sont nilpotents. Dans le cas inverse, le corps $F$ peut être plongé dans un corps fermé réel, ce qui induit un ordre total sur le corps.

Relation avec les groupes de Chow supérieurs et la K-théorie supérieure de Quillen

Une des propriétés phares reliant la K-théorie de Milnor à la K-théorie algébrique supérieure est le fait qu'il existe des isomorphismes naturels $$K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)$$ vers les groupes de Chow supérieurs de Bloch, qui induisent un morphisme d'anneaux gradés$$K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)$$. On peut le vérifier en utilisant un morphisme explicite^{pg 181} $$\phi :F^{*}\to {\text{CH}}^{1}(F,1)$$ où$$\phi (a)\phi (1-a)=0~{\text{dans}}~{\text{CH}}^{2}(F,2)~{\text{pour}}~a,1-a\in F^{*}$$ Cette application est donnée par $${\begin{aligned}\{1\}&\mapsto 0\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\\\{a\}&\mapsto [a]\in {\text{CH}}^{1}(F,1)\end{aligned}}$$ pour $[a]$ la classe du point $[a:1]\in \mathbb {P} _{F}^{1}-\{0,1,\infty \}$ avec $a\in F^{*}-\{1\}$. La propriété principale à vérifier est que $[a]+[1/a]=0$ pour $a\in F^{*}-\{1\}$ et $[a]+[b]=[ab]$. Notons que ce dernier est distinct de $[a]\cdot [b]$ vue que c'est un élément de ${\text{CH}}^{2}(F,2)$. Par ailleurs, la seconde propriété implique la première pour $b=1/a$. Cette vérification peut être faite en utilisant une courbe rationnelle définissant un cycle dans $C^{1}(F,2)$ dont l'image à travers $\partial$ est la somme $[a]+[b]-[ab]$pour $ab\neq 1$, montrant qu'ils différents d'une limite (boundary). De la même manière, si $ab=1$, $\partial$ envoie alors ce cycle vers $[a]-[1/a]$, montrant qu'ils différent d'une limite. La seconde propriété prinicpale à montrer et celle des relations de Steinberg. Avec elles, et le fait que les groupes de Chow supérieurs ont une structure d'anneau $${\text{CH}}^{p}(F,q)\otimes {\text{CH}}^{r}(F,s)\to {\text{CH}}^{p+r}(F,q+s)$$ on obtient une application explicite $$K_{*}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{*}(F,*)$$. Montrer que cette application dans l'autre direction est un isomorphisme demande davantage de travail, mais on obtient$$K_{n}^{M}(F)\to {\text{CH}}^{n}(F,n)$$ On peut alors relier les groupes de Chow supérieurs à la K-théorie supérieurs en utilisant qu'il y a des isomorphismes$$K_{n}(X)\otimes \mathbb {Q} \cong \bigoplus _{p}{\text{CH}}^{p}(X,n)\otimes \mathbb {Q}$$donnant alors la relation à la K-théorie algébrique supérieure de Quillen. Notons que les applications

$K_{n}^{M}(F)\to K_{n}(F)$

allant des K-groupes de Milnor d'un corps aux K-groupes de Quillen, sont des isomorphismes pour $n\leq 2$ mais pas pour des valeurs de n plus grandes, en général. Pour des éléments non nuls $a_{1},\ldots ,a_{n}$ de F, le symbole $\{a_{1},\ldots ,a_{n}\}$ dans $K_{n}^{M}(F)$ est définie comme l'image de $a_{1}\otimes \cdots \otimes a_{n}$ dans l'algèbre tensorielle. Tout élément de la K-théorie de Milnor peut s'écrire comme une somme finie de symboles. Le fait que $\{a,1-a\}=0$ dans $K_{2}^{M}(F)$ pour $a\in F\setminus \{0,1\}$ est parfois appelée la relation de Steinberg .

Représentation en cohomologie motivique

En cohomologie motivique, et plus précisément en théorie de l'homotopie motivique, il existe un faisceau $K_{n,A}$ représentant une généralisation de la K-théorie de Milnor avec des coefficients dans un groupe abélien $A$. En écrivant $A_{tr}(X)=\mathbb {Z} _{tr}(X)\otimes A$ nous définissons alors le faisceau $K_{n,A}$ comme la sheafification du préfaisceau ^{pg 4} $$K_{n,A}^{pre}:U\mapsto A_{tr}(\mathbb {A} ^{n})(U)/A_{tr}(\mathbb {A} ^{n}-\{0\})(U)$$ Notons que les sections de ce préfaisceau sont des classes d'équivalence de cycles sur $U\times \mathbb {A} ^{n}$ avec coefficients dans $A$, qui sont équidimensionnelles et finies sur $U$ (ce qui découle directement de la définition de $\mathbb {Z} _{tr}(X)$ ). Il est possible de démontrer qu'il existe une $\mathbb {A} ^{1}$ -faible équivalence avec les faisceaux motiviques d'Eilenberg-Maclane $K(A,2n,n)$ (selon la convention de notation).

Exemples

Pour n = 0, 1 ou 2, ces K-groupes de corps coïncident avec ceux de Quillen, mais pour n ≥ 3, ils sont en général différents.

K^M_n(F_q) = 0 pour n ≥ 2 (alors que le K-groupe de Quillen K_{2i – 1}(F_q), pour i ≥ 1, est cyclique d'ordre qⁱ – 1).

K^M₂(ℂ) est un groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℝ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℚ_p) est la somme directe du groupe multiplicatif de F_p et d'un sous-groupe divisible non dénombrable sans torsion.

K^M₂(ℚ) est la somme directe d'un sous-groupe cyclique d'ordre 2 et de sous-groupes cycliques d'ordre p – 1, pour tout nombre premier p impair.

Liens avec d'autres théories

La K-théorie de Milnor joue un rôle essentiel en théorie des corps de classes supérieure (en), remplaçant K^M₁ utilisé en théorie des corps de classes de dimension 1.

La K-théorie de Milnor modulo 2, notée k_✲(F), est liée à la cohomologie étale (ou de Galois) du corps F par la conjecture de Milnor, démontrée par Vladimir Voïevodski. L'énoncé analogue modulo un nombre premier impair est la conjecture de Bloch-Kato (en), démontrée par Voevodsky et Rost.

On définit le « symbole » {a₁, … , a_n} comme l'image de a₁⊗ … ⊗ a_n dans K^M_n(F) : si n = 2, c'est un symbole de Steinberg.

On définit pour tout n un morphisme de k_n(F) dans le groupe de Witt de F, en associant à ce symbole la forme de Pfister (en) de dimension 2ⁿ

$\langle \langle a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}\rangle \rangle =\langle 1,a_{1}\rangle \otimes \langle 1,a_{2}\rangle \otimes \ldots \otimes \langle 1,a_{n}\rangle .$

Vu comme à valeurs dans Iⁿ/Iⁿ⁺¹, ce morphisme est surjectif car les formes de Pfister engendrent additivement Iⁿ. La conjecture de Milnor s'interprète comme l'injectivité de ce morphisme.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Milnor K-theory » (voir la liste des auteurs).