Lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz

En mathématiques, et plus précisément en topologie algébrique, le lemme de Knaster-Kuratowski-Mazurkiewicz, ou lemme KKM, est un résultat de point fixe publié en 1929 par Bronisław Knaster, Kazimierz Kuratowski et Stefan Mazurkiewicz.

Énoncé

Lemme KKM : Si un simplexe Δ_m est réunion des ensembles fermés $C_{i}$ pour $i\in I=\{1,\dots ,m\}$ et que pour tout $I_{k}\subset I$, la face de Δ_m engendrée par $e_{i}$ pour $i\in I_{k}$ est contenue dans la réunion des $C_{i}$ pour $i\in I_{k},$ alors les $C_{i}$ ont une intersection non vide.

Donnons une illustration dans le cas m = 3. Le simplexe Δ₃ est un triangle, de sommets numérotés 1, 2 et 3. Les hypothèses sont alors que le triangle est contenu dans la réunion des trois fermés $C_{1},C_{2},C_{3}$, que le sommet i appartient à $C_{i}$, que le côté 12 (allant du sommet 1 au sommet 2) est contenu dans la réunion de $C_{1}$ et $C_{2}$, que le côté 23 est contenu dans la réunion de $C_{2}$ et $C_{3}$, et que le côté 31 est contenu dans la réunion de $C_{3}$ et $C_{1}$. Le lemme affirme que, dans ces conditions, les trois ensembles $C_{1},C_{2},C_{3}$ ont au moins un point en commun.

Le lemme KKM peut se démontrer à partir du lemme de Sperner, et permet de démontrer le théorème du point fixe de Brouwer (auquel il est en fait équivalent).

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Knaster–Kuratowski–Mazurkiewicz lemma » (voir la liste des auteurs).

Lien externe

(en) « KKM lemma », sur PlanetMath