Lemme de Poincaré

En géométrie différentielle, le lemme de Poincaré est un résultat fondamental sur les formes différentielles. Il donne une condition pour qu'une forme différentielle fermée soit exacte et constitue donc une réciproque partielle du théorème de Schwarz.

Notions préliminaires

Formes différentielles, forme fermée et forme exacte

Une k-forme différentielle $\omega$ sur une variété différentielle $M$ est un champ de formes k-linéaires alternées sur les espaces tangents $T_{p}M$. Elle s'écrit localement comme $$\omega =\sum _{i_{1}<\cdots <i_{k}}f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}\,dx^{i_{1}}\wedge \cdots \wedge dx^{i_{k}},$$ où les coefficients $f_{i_{1},\ldots ,i_{k}}$ sont des fonctions lisses.

Les formes différentielles sont munies d'un opérateur $\mathrm {d}$ appelé dérivée extérieure, qui transforme une k-forme en une (k+1)-forme. Sa propriété fondamentale est $\mathrm {d} ^{2}=0$.

Une k-forme $\omega$ sur une variété $M$ est dite :

• fermée si sa dérivée extérieure est nulle : $\mathrm {d} \omega =0$ ;
• exacte si $\omega$ est une dérivée extérieure : $\omega =\mathrm {d} \alpha$ pour une (k – 1)-forme $\alpha$, dite primitive de $\omega$.

De la condition $\mathrm {d} ^{2}=0$, on en déduit que toute forme exacte est fermée. En revanche la réciproque est fausse, par exemple $\omega ={\frac {-y\,dx+x\,dy}{x^{2}+y^{2}}}$ sur $\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}$ est fermée mais n'est pas exacte.

Espace contractile

Un espace topologique $M$ est dit contractile s'il peut être continûment déformé en un point. Formellement, cela signifie qu'il existe une homotopie entre l'identité $\operatorname {id} _{M}$ et une application constante de $M$, ou de manière équivalente que $M$ se rétracte par déformation sur un point. En particulier, tout espace étoilé est contractile.

Tout espace contractile est simplement connexe, mais il existe des variétés simplement connexes non contractiles, comme les sphères.

Énoncé

Lemme de Poincaré — Si $M$ est une variété différentielle contractile, toute forme fermée de degré strictement positif sur $M$ est exacte.

En particulier, le lemme de Poincaré s'applique directement aux espaces étoilés de $\mathbb {R} ^{n}$, puisque tout espace étoilé est contractile. Ainsi, sur un ouvert étoilé, toute forme différentielle fermée de degré strictement positif est exacte. Pour les 1-formes différentielles, l'hypothèse de contractilité peut être affaiblie en simple connexité.

Enfin toute variété différentielle est localement euclidienne et donc localement étoilée. Cette propriété implique que sur une variété différentielle quelconque, toute forme fermée de degré strictement positif est localement exacte.

Démonstrations

La preuve du lemme de Poincaré peut être obtenue de plusieurs manières. La preuve directe construit explicitement une primitive par intégration le long des segments reliant un point fixé $a$ à $x$. Une démonstration pour les 1-formes sur un ouvert étoilé de $\mathbb {R} ^{n}$ est donnée donné ci-dessous. Pour étendre cette démonstration à une variété simplement connexe quelconque, il suffit de remplacer les segments par des chemins et le théorème de Green par celui de Stokes.

Démonstration pour une 1-forme sur un ouvert étoilé de ℝⁿ

Montrons que toute 1-forme fermée $\omega$ sur $U$ est exacte, c'est-à-dire qu'elle est la différentielle d'une 0-forme (une fonction).

Supposons que $U$ est étoilé autour de $a$, définissons une fonction $f$ sur $U$ par des intégrales curvilignes sur des segments : $$f(x)=\int _{[a,x]}\omega ,$$ et montrons que $\mathrm {d} f=\omega$ en tout point $x$ de $U$, c'est-à-dire que (pour $x$ fixé et pour tout $x+v$ dans une boule de centre $x$ incluse dans $U$) :

$$f(x+v)-f(x)=\omega _{x}(v)+o(v).$$

D'après le théorème de Green appliqué au triangle $(a,x,x+v)$, on a (puisque $\omega$ est fermée) $$f(x+v)-f(x)=\int _{[x,x+v]}\omega =\left(\int _{0}^{1}\omega _{x+tv}~{\rm {d}}t\right)(v).$$

Or par continuité de $\omega$ au point $x$, $$\lim _{v\to 0}\int _{0}^{1}\omega _{x+tv}~{\rm {d}}t=\omega _{x}.$$

On a donc bien : $$f(x+v)-f(x)=\left(\omega _{x}+\varepsilon (v)\right)(v)=\omega _{x}(v)+o(v).$$

Cette méthode peut être généralisée à des formes de toute dimension en remplaçant l'intégrale curviligne par une intégration le long de l'homotopie (en) $h:M\times [0,1]\to M$. Le rôle du théorème de Green ou Stokes dans la preuve des 1-formes est alors joué par la formule d'homotopie $h_{1}^{*}\omega -h_{0}^{*}\omega =J(d\omega )+d(J\omega )$. Si $\mathrm {d} \omega =0$, $h_{1}=\mathrm {id}$ et $h_{0}$ est constant, alors $\omega =\mathrm {d} (J\omega )$.

Une preuve plus élémentaire existe en dimension deux, en intégrant successivement les coefficients d'une forme fermée par rapport aux coordonnées. Une autre preuve utilise la formule de Cartan ${\mathcal {L}}_{X}\omega =\mathrm {d} (\iota _{X}\omega )+\iota _{X}\mathrm {d} \omega$ et montre directement que l'homotopie entre l'identité et une application constante induit une homotopie entre les opérateurs différentiels correspondants.

Conséquences et applications

Cohomologie de De Rham

Pour une variété différentielle $M$, la cohomologie de De Rham mesure l'obstruction à exprimer une forme différentielle fermée comme la différentielle d'une forme de degré inférieur, c'est-à-dire comme une forme exacte. Formellement, les formes différentielles définissent un complexe de cochaînes appelé complexe de De Rham : $$\Omega ^{*}:0\xrightarrow {} \Omega ^{0}(M)\xrightarrow {\mathrm {d} ^{0}} \Omega ^{1}(M)\xrightarrow {\mathrm {d} ^{1}} \cdots \xrightarrow {\mathrm {d} ^{n-1}} \Omega ^{n}(M)\xrightarrow {} 0.$$ Le k-ième groupe de cohomologie de De Rham $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ est défini comme le quotient de l'espace des formes différentielles fermées de degré k $\ker \mathrm {d} ^{k}$ par celui des formes exactes $\operatorname {im} \mathrm {d} ^{k-1}$.

Exprimé en ces termes, le lemme de Poincaré dit que les groupes $H_{\mathrm {dR} }^{k}(M)$ d'une variété $M$ contractile sont triviaux pour tout k strictement positif. C'est un cas particulier d'un résultat plus général concernant les applications homotopes : deux applications homotopes induisent la même application en cohomologie de De Rham. Le lemme de Poincaré correspond au cas où l'identité est homotope à une application constante.

Par ailleurs, comme le noyau de $\mathrm {d} ^{0}$ correspond au faisceau $\mathbb {R} _{M}$ des fonctions localement constantes, la version locale du lemme de Poincaré montre que le complexe de de Rham augmenté : $$0\xrightarrow {} \mathbb {R} _{M}\xrightarrow {\epsilon } \Omega ^{0}\xrightarrow {\mathrm {d} ^{0}} \Omega ^{1}\xrightarrow {\mathrm {d} ^{1}} \cdots \xrightarrow {\mathrm {d} ^{n-1}} \Omega ^{n}\xrightarrow {} 0$$ est exact.

En algèbre homologique, cela signifie que le complexe de de Rham constitue une résolution (en) du faisceau constant $\mathbb {R} _{M}$. Cette propriété structurelle fonde le théorème de de Rham, qui établit l'équivalence entre la cohomologie de De Rham et la cohomologie singulière en identifiant cette dernière à une cohomologie de faisceaux. Grâce à ce théorème, la trivialité des groupes de cohomologie des espaces contractiles peut également être démontrée par des arguments purement topologiques.

Notes et références

Voir aussi

Articles connexes

• Cohomologie de De Rham
• Théorème de De Rham

Bibliographie

• Jacques Lafontaine, Introduction aux variétés différentielles [détail des éditions]
• Jean Dieudonné, Éléments d'analyse, vol. IX, Paris, Gauthier-Villars, 1982, 380 p. (ISBN 2-04-011499-8)
• (en) John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, vol. 218, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 2012, 2^e éd. (1^re éd. 2003), 708 p. (ISBN 978-1-4419-9982-5, DOI 10.1007/978-1-4419-9982-5)
• (en) Raoul Bott et Loring W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, vol. 82, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1982 (ISBN 978-1-4757-3951-0, DOI 10.1007/978-1-4757-3951-0)
• (en) Frank W. Warner, Foundations of differentiable manifolds and Lie groups, vol. 94, Springer, coll. « Graduate Texts in Mathematics », 1983 (ISBN 978-1-4757-1799-0, DOI 10.1007/978-1-4757-1799-0)

Liens externes

• (en) Eric W. Weisstein, « Poincaré's Lemma », sur MathWorld
• Poincaré lemma sur le nLab