Lemme de Schreier

En mathématiques, le lemme de Schreier est un résultat de théorie des groupes permettant, à partir d'une partie génératrice d'un groupe et d'une transversale d'un sous-groupe, de construire une partie génératrice de ce sous-groupe.

Énoncé

Soient :

$G$ un groupe ;
$S$ une partie génératrice de $G$ ;
$H$ un sous-groupe de $G$ ;
$T$ une transversale à droite de $H$ dans $G$ , contenant l'élément neutre.

Pour tout élément $g$ de $G$ , on note $\overline{g}$ l'élément de $T$ qui a la même classe à droite :

\overline{g} \in T et g \in H \overline{g}

.

Alors, $H$ est engendré par le sous-ensemble

{t s (\overline{t s})^{- 1} ∣ t \in T, s \in S}

.

Exemple

Si $H$ est d'indice 2 dans $G$ , alors $S$ contient au moins un $q \notin H$ , et on peut prendre comme transversale $T = {1, q}$ . On peut de plus se ramener au cas où $q$ est le seul élément de $S$ qui n'appartient pas à $H$ (en remplaçant les autres par leur produit par $q$ ). On calcule alors

t s (\overline{t s})^{- 1} = {\begin{matrix} si s = q et & {\begin{matrix} t = 1 : & q (\overline{q})^{- 1} = 1 \\ t = q : & q^{2} (\overline{q^{2}})^{- 1} = q^{2} \end{matrix} \\ si s \in S ∖ {q} et & {\begin{matrix} t = 1 : & s (\overline{s})^{- 1} = s \\ t = q : & q s (\overline{q s})^{- 1} = q s q^{- 1} . \end{matrix} \end{matrix}

$H$ est donc engendré par $q^{2}$ joint aux éléments de $S ∖ {q}$ et à leurs conjugués par $q$ .

Applications

On en déduit immédiatement que si $G$ est un groupe de type fini et $H$ un sous-groupe d'indice fini alors $H$ est de type fini.
Ce lemme est également une première étape dans la preuve par Schreier du théorème de Nielsen-Schreier, selon lequel tout sous-groupe d'un groupe libre est libre.

Source

(en) Marshall Hall, Jr., The Theory of Groups [détail des éditions], p. 96-97 (à ceci près que Hall appelle classes à gauche nos classes à droite)

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Démonstration du lemme de Schreier, sur Wikiversity

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