Liste de sujets portant le nom de Leonhard Euler

En mathématiques et en physique, un grand nombre de sujets ont reçu le nom de Leonhard Euler, en général désignés par leur type : équations, formules, identités, nombres (uniques ou suites de nombres) ou autre entités mathématiques ou physiques.

Le travail d'Euler a touché tant de domaines qu'il est souvent la première référence écrite sur un sujet. Les physiciens et les mathématiciens plaisantent parfois en affirmant que dans un effort pour éviter de tout nommer en référence à Euler, les découvertes et les théorèmes porteront le nom de la « première personne à l'avoir découvert après Euler »^[1]^,^[2].

Formules

Formules d'Euler en trigonométrie : $\cos x=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}+\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2}}$ , $\sin x=\displaystyle {\frac {\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \,x}-\mathrm {e} ^{-\mathrm {i} \,x}}{2\mathrm {i} \,}}$
Formule (ou relation) d'Euler pour les graphes planaires et les polyèdres convexes: S - A + F = 2
Formule d'Euler pour $\zeta (2)$ (réponse au problème de Bâle)
Formule de fraction continue d'Euler
Formule d'Euler-Maclaurin (analyse réelle)
Produits eulériens (produits infinis indexés sur les nombres premiers)
Développement d'Euler en produit infini du sinus
Développements d'Euler en somme d'éléments simples de la cotangente, de la tangente, de la sécante, etc.
Formule d'Euler-Rodrigues pour les rotations en dimension trois
Formule d'Euler pour les rayons de courbure principaux : ${1 \over R}={\frac {\cos ^{2}\varphi }{R_{1}}}+{\frac {\sin ^{2}\varphi }{R_{2}}}$
Formule d'Euler-Savary concernant le mouvement plan sur plan
Charge critique d'Euler

Identités

Identité d'Euler dans les nombres complexes : $e^{i\pi }+1=0$
Identité des quatre carrés d'Euler
Identité d'Euler caractérisant les fonctions homogènes de plusieurs variables
Identité d'Euler exprimant la fonction $\phi$ ci-dessous : $\phi (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{n(3n-1)/2}$

Fonctions

Intégrales d'Euler
- Fonction eulérienne de première espèce, ou fonction gamma
- Fonction eulérienne de deuxième espèce, ou fonction bêta
Fonction d'Euler $\phi (q)=\prod _{k=1}^{\infty }(1-q^{k})$
Fonction indicatrice (ou indicateur) d'Euler $\varphi$ (arithmétique)

Nombres

Nombres d'Euler intervenant dans les développements en série de 1/cos et tan, associés aux polynômes d'Euler
Nombre d'Euler (physique) (cas particulier : Nombre de cavitation)
Nombres et polynômes eulériens (arithmétique) dont la table forme le triangle d'Euler
Constante d'Euler
Nombres chanceux d'Euler (arithmétique)
Nombres pseudo-premiers d'Euler
Nombres pseudo-premiers d'Euler-Jacobi
Nombres idoines d'Euler

Équations

Équation (différentielle) d'Euler
Équation d'Euler-Lagrange (calcul des variations)
Équation sous forme normale d'Euler d'une droite du plan
Équations d'Euler (mécanique des fluides)

Lois

Loi d'Euler donnant une relation de récurrence pour $\sigma (n)$ , somme des diviseurs de n
Loi d'Euler en théorie des poutres

Théorèmes

Certains théorèmes ci-dessous reprennent des formules ou identités ci-dessus :

Théorème d'Euler pour la courbure des surfaces
Théorème d'Euler pour les fonctions homogènes
Théorème d'Euler généralisant le petit théorème de Fermat
Théorème d'Euler-Lagrange (groupes) généralisant le précédent
Théorème d'Euler-Lagrange (calcul des variations)
Théorème de Descartes-Euler pour les polyèdres
Critère d'Euler en théorie des nombres
Théorème pentagonal d'Euler
Théorème de Goldbach-Euler (série des inverses des puissances parfaites moins 1)

Conjectures

Les trois conjectures ci-dessous ont été infirmées :

Conjecture d'Euler (arithmétique)
Problème des trente-six officiers d'Euler
Conjecture de Cauchy-Euler (tout polyèdre à faces rigide est non flexible)

Méthodes

Méthode d'Euler pour les équations différentielles
Méthode d'Euler pour l'élimination du terme sous-dominant d'une équation algébrique
Méthode d'Euler pour la résolution de l'équation du quatrième degré
Transformation d'Euler pour les suites
Substitution d'Euler dans les intégrales

Géométrie du triangle, du quadrilatère, du tétraèdre

Dans le triangle

Droite d'Euler
Relation vectorielle d'Euler dans le triangle : ${\overrightarrow {OH}}=3{\overrightarrow {OG}}$
Cercle d'Euler, ou cercle des neuf points
Points d'Euler, sur le cercle précédent : milieux des segments joignant l'orthocentre aux sommets, formant le triangle d'Euler
Ellipse d'Euler, ou ellipse de Serret, ou encore ellipse de Macbeath
Relations d'Euler : $OI^{2}=R^{2}-2rR$ , $OI_{A}^{2}=R^{2}+2Rr_{A}$
Inégalité d'Euler : $R\geqslant 2r$

Dans le quadrilatère

Dans le tétraèdre

Relation d'Euler dans le tétraèdre^[3]^,^[4] : ${\overrightarrow {AB}}.{\overrightarrow {CD}}+{\overrightarrow {AC}}.{\overrightarrow {DB}}+{\overrightarrow {AD}}.{\overrightarrow {BC}}=0$
Droite et sphères d'Euler dans le tétraèdre

Théorie des graphes

Problèmes

Autres objets mathématiques ou physiques

Angles d'Euler (géométrie euclidienne)
Brique d'Euler (arithmétique)
Brique d'Euler parfaite (arithmétique)
Caractéristique d'Euler-Poincaré (topologie)
Carré gréco-latin ou carré eulérien
Classe d'Euler
Diagramme d'Euler (théorie des ensembles)
Description eulérienne
Disque d'Euler (jouet scientifique)
Clothoïde ou spirale d'Euler
Force d'Euler
Gyroscope ou toupie d'Euler (de)
Surface d'Euler : $xyz(x+y+z)=1$ ^[5]
Système d'Euler
Théorie d'Euler des machines centrifuges
Théorie d'Euler-Bernoulli ou théorie des poutres
Tonnetz d'Euler
Triangle d'Euler, nom parfois donné au triangle sphérique

Divers

Langage de programmation Euler (en)
Logiciel Euler
Police de caractères AMS-Euler
Astéroïde (2002) Euler
Médaille Euler
Project Euler
Télescope Leonhard-Euler
Banque Euler-Hermes
Rue Euler à Paris ; rue Euler à Évreux, Lille, Mérignac et Nîmes ; rue Leonhard Euler à Créteil et Dijon ; Eulerstrasse à Bâle.

Articles connexes

Lien externe

Liste d'inventions dues à Euler, dans la revue L'Ouvert n^o 31

Notes et références

↑ (en) David S. Richeson, Euler's Gem : The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton, Princeton University Press, 2008, 317 p. (ISBN 978-0-691-12677-7, LCCN 2008062108, lire en ligne), p. 86.
↑ (en) C. H. Edwards et David E. Penney, Differential equations and boundary value problems, Pékin, 清华大学出版社,‎ 2004, 787 p. (ISBN 978-7-302-09978-9, OCLC 660384091, lire en ligne), p. 443.
↑ C. Lebossé, C. Hémery, Géométrie, classe de mathématiques, Fernand Nathan, 1963, chap. 77: applications du produit scalaire, p. 59
↑ Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 380
↑ (en) Noam D. Elkies, « How did Euler (and how can we) solve xyz(x+y+z) = a? », 2012 (consulté en mai 2017)

[1] (en) David S. Richeson, Euler's Gem : The Polyhedron Formula and the Birth of Topology, Princeton, Princeton University Press, 2008, 317 p. (ISBN 978-0-691-12677-7, LCCN 2008062108, lire en ligne), p. 86.

[2] (en) C. H. Edwards et David E. Penney, Differential equations and boundary value problems, Pékin, 清华大学出版社,‎ 2004, 787 p. (ISBN 978-7-302-09978-9, OCLC 660384091, lire en ligne), p. 443.

[3] C. Lebossé, C. Hémery, Géométrie, classe de mathématiques, Fernand Nathan, 1963, chap. 77: applications du produit scalaire, p. 59

[:02-4] Yves Ladegaillerie, Géométrie, affine, projective, euclidienne, et anallagmatique, Ellipses, 2003, p. 380

[5] (en) Noam D. Elkies, « How did Euler (and how can we) solve xyz(x+y+z) = a? », 2012 (consulté en mai 2017)

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