Nombre idoine

En mathématiques, les nombres idoines d'Euler (également appelés nombres convenables) sont des entiers naturels définis en 1778 par Leonhard Euler. Ce dernier en a calculé une liste de 65 éléments dont on ne sait pas encore aujourd'hui si elle est complète ou non.

Définitions

La définition donnée par Euler est la suivante^[1] :

Un entier naturel non nul $n$ est idoine si tout entier impair $q$ qui peut s'écrire d'une manière unique sous la forme $q=x^{2}+ny^{2}$ , avec $x$ et $y$ naturels, est premier et si $x$ et $ny$ sont alors premiers entre eux.

On a trouvé depuis de nombreuses autres caractérisations de ces nombres, dont une liste se trouve dans la page A000926 de l'OEIS. La plus simple en est la suivante :

Un entier naturel non nul $n$ est idoine si et seulement s'il ne peut pas s'écrire $ab+bc+ca$ pour des entiers vérifiant $0<a<b<c$ .

Autre définition :

Un entier naturel non nul $n$ est idoine si le groupe de classes $C(-4n)$ est isomorphe à $({\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}})^{m}$ pour un entier $m\geqslant 1$ ^[2].

Conjecture de la liste complète

La liste des 65 nombres idoines obtenue par Euler est la suivante :

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365 et 1848

(suite A000926 de l'OEIS).

Par exemple, 11 n'est pas idoine car il peut s'écrire $1\cdot 2+2\cdot 3+3\cdot 1$ .

Les résultats de Peter J. Weinberger de 1973^[3] impliquent qu'il existe au plus deux autres nombres idoines, et que la liste ci-dessus est complète si l'hypothèse de Riemann généralisée est valable (certaines sources affirment à tort que les résultats de Weinberger impliquent qu'il existe au plus un autre nombre idoine)^[4].

Articles connexes

Notes

↑ André Warusfel, Euler, les mathématiques et la vie, Vuibert, mai 2009, p. 126-127.
↑ J.-P. Allouche, « Bizarrement mathématique : quelques propriétés du nombre 65 ».
↑ Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124.
↑ Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Idoneal number » (voir la liste des auteurs).
Z.I. Borevich et I.R. Shafarevich, Number Theory. Academic Press, NY, 1966, p. 425–430.
L. Euler, " An illustration of a paradox about the idoneal, or suitable, numbers ", 1806.
Günther Frei, Les nombres convenables de Leonhard Euler, Publications Université de Besançon, 1983-1984.
O.H. Keller, Über die "Numeri idonei" von Euler, Beiträge Algebra Geom., 16 (1983), 79–91. [Math. Rév. 85m:11019].
G.B. Mathews, Number theory, Chelsea, sans date, p. 263.
P. Ribenboim, "Galimatias Arithmeticae", dans Mathematics Magazine 71(5) 339 1998 MAA ou, "My Numbers, My Friends", Chap.11 Springer-Verlag 2000 NY.
J. Steinig, On Euler's ideoneal numbers, Elemente Math., 21 (1966), 73–88.
P. Weinberger, Exponents of the class groups of complex quadratic fields, Acta Arith., 22 (1973), 117–124.
Ernst Kani, Idoneal Numbers And Some Generalizations, Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

Liens externes

KS Brown, Mathpages, Numeri Idonei.
M. Waldschmidt, Open Diophantine problems.
(en) Eric W. Weisstein, « Idoneal Number », sur MathWorld.

Portail des mathématiques

[1] André Warusfel, Euler, les mathématiques et la vie, Vuibert, mai 2009, p. 126-127.

[2] J.-P. Allouche, « Bizarrement mathématique : quelques propriétés du nombre 65 ».

[3] Acta Arith., 22 (1973), p. 117-124.

[4] Ann. Sci. Math. Québec 35, No 2, (2011), 197-227.

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