Loi bêta-binomiale négative

En théorie des probabilités et en statistique, la loi bêta-binomiale négative est la loi de probabilité discrète d'une variable aléatoire X égale au nombre d'échecs nécessaires pour obtenir n succès dans une suite d'épreuves de Bernoulli où la probabilité p du succès est une variable aléatoire de loi bêta. La loi est alors une loi mélangée.

Loi Bêta-binomiale négative
Paramètres	$\alpha >0$, paramètre de forme $\beta >0$, paramètre de forme $n\in \mathbb {N}$
Support	$k\in \{0,1,2,3,\dots \}$
Fonction de masse	${\frac {n^{(k)}\alpha ^{(n)}\beta ^{(k)}}{k!(\alpha +\beta )^{(n)}(n+\alpha +\beta )^{(k)}}}$ où $x^{(n)}$ est le symbole de Pochhammer croissant
Espérance	${\begin{cases}{\frac {n\beta }{\alpha -1}}&{\text{si}}\ \alpha >1\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}$
Variance	${\begin{cases}{\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{(\alpha -2){(\alpha -1)}^{2}}}&{\text{si}}\ \alpha >2\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}$
Asymétrie	${\begin{cases}{\frac {(\alpha +2n-1)(\alpha +2\beta -1)}{(\alpha -3){\sqrt {\frac {n(\alpha +n-1)\beta (\alpha +\beta -1)}{\alpha -2}}}}}&{\text{si}}\ \alpha >3\\\infty &{\text{sinon}}\ \end{cases}}$

Cette loi a également été appelée la loi inverse Markov-Pólya et la loi de Waring généralisée. Une version avec dérive de cette loi a été appelée la loi bêta-Pascal.

Si les paramètres de la loi bêta sont $\alpha$ et $\beta$, et si

$X\mid p\sim \mathrm {NB} (n,p),$

où

$p\sim {\textrm {B}}(\alpha ,\beta ),$

alors la loi marginale de X est la loi bêta-binomiale négative :

$X\sim \mathrm {BNB} (n,\alpha ,\beta ).$

Dans les notations ci-dessus, $\mathrm {NB} (n,p)$ est la loi bêta-binomiale et ${\textrm {B}}(\alpha ,\beta )$ est la loi bêta.

Références

• Jonhnson, N.L.; Kotz, S.; Kemp, A.W. (1993) Univariate Discrete Distributions, 2nd edition, Wiley (ISBN 0-471-54897-9) (Section 6.2.3)
• Kemp, C.D.; Kemp, A.W. (1956) "Generalized hypergeometric distributions, Journal of the Royal Statistical Society, Series B, 18, 202–211
• Wang, Zhaoliang (2011) "One mixed negative binomial distribution with application", Journal of Statistical Planning and Inference, 141 (3), 1153-1160 DOI 10.1016/j.jspi.2010.09.020