Loi de Birnbaum-Saunders

La loi de Birnbaum-Saunders, également appelée loi de fatigue, est une loi de probabilité continue utilisée en fiabilité pour modéliser les temps de défaillance. Plusieurs formulations alternatives de cette loi sont décrites dans la littérature. Elle porte le nom de Z.W. Birnbaum et S.C. Saunders.

Loi de Birnbaum-Saunders
Paramètres	$\alpha >0,\beta >0$
Support	$x>0$
Densité de probabilité	${\textstyle {\frac {1}{2{\sqrt {2\pi }}\alpha \beta }}{\sqrt {\frac {\beta }{x}}}\left(1+{\frac {\beta }{x}}\right)\exp \left[-{\frac {1}{2\alpha ^{2}}}\left({\frac {x}{\beta }}+{\frac {\beta }{x}}-2\right)\right]}$
Fonction de répartition	${\textstyle \Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[{\sqrt {\frac {x}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x}}}\right]\right)}$
Espérance	$\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)$
Médiane	${\textstyle \beta }$
Variance	${\textstyle (\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)}$
Asymétrie	${\textstyle {\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}}$
Kurtosis normalisé	${\textstyle 3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}}$

Théorie

Cette loi a été développée pour modéliser les ruptures dues aux fissures. Un matériau est soumis à des cycles de contrainte répétés. Le j^ème cycle entraîne une augmentation de la fissure d'une valeur X_j. La somme des X_j suit par hypothèse une loi normale de moyenne nμ et de variance nσ². La probabilité que la fissure ne dépasse pas une longueur critique ω est

$\mathbb {P} (X\leq \omega )=\Phi \left({\frac {\omega -n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\right)$

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Si T représente le nombre de cycles avant défaillance, alors la fonction de répartition de T est

$\mathbb {P} (T\leq t)=1-\Phi \left({\frac {\omega -t\mu }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {t\mu -\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\mu {\sqrt {t}}}{\sigma }}-{\frac {\omega }{\sigma {\sqrt {t}}}}\right)=\Phi \left({\frac {\sqrt {\mu \omega }}{\sigma }}\left[\left({\frac {t}{\omega /\mu }}\right)^{0.5}-\left({\frac {\omega /\mu }{t}}\right)^{0.5}\right]\right)$

La forme la plus courante de cette loi est :

$F(x;\alpha ,\beta )=\Phi \left({\frac {1}{\alpha }}\left[{\sqrt {\frac {x}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x}}}\right]\right)$

Ici, α est le paramètre de forme et β est le paramètre d'échelle.

Propriétés

La loi de Birnbaum-Saunders est unimodale avec une médiane égale à β.

La moyenne (μ), la variance (σ²), l'asymétrie (γ) et l'aplatissement (κ) sont données par :

$\mu =\beta \left(1+{\frac {\alpha ^{2}}{2}}\right)$

$\sigma ^{2}=(\alpha \beta )^{2}\left(1+{\frac {5\alpha ^{2}}{4}}\right)$

$\gamma ={\frac {4\alpha (11\alpha ^{2}+6)}{(5\alpha ^{2}+4)^{\frac {3}{2}}}}$

$\kappa =3+{\frac {6\alpha ^{2}(93\alpha ^{2}+40)}{(5\alpha ^{2}+4)^{2}}}$

Étant donné un ensemble de données que l'on suppose suivre la loi de Birnbaum-Saunders, les valeurs des paramètres sont mieux estimées par la méthode du maximum de vraisemblance.

Si T suit une loi de Birnbaum-Saunders avec les paramètres α et β, alors T⁻¹ suit une loi de Birnbaum-Saunders avec les paramètres α et β⁻¹.

Transformation

Soit T une variable aléatoire suivant une loi de Birnbaum-Saunders de paramètres α et β. Une transformation utile de T est

$X={\frac {1}{2}}\left[{\sqrt {\frac {T}{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{T}}}\right]$.

De manière équivalente

$T=\beta \left(1+2X^{2}+2X{\sqrt {1+X^{2}}}\right)$.

X suit alors une loi normale centrée de variance égale à α²/4.

Densité de probabilité

La formule générale de la fonction de densité de probabilité est

${\displaystyle f(x)={\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}+{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{2\gamma \left(x-\mu \right)}}\phi \left({\frac {{\sqrt {\frac {x-\mu }{\beta }}}-{\sqrt {\frac {\beta }{x-\mu }}}}{\gamma }}\right)\quad x>\mu$ ;\gamma ,\beta >0}

où γ est le paramètre de forme, μ est le paramètre de position, β est le paramètre d'échelle, et $\phi$ est la fonction de densité de probabilité de la loi normale centrée réduite.

Loi standard de la fatigue

Le cas où μ = 0 et β = 1 est appelé loi de fatigue standard. La fonction de densité de probabilité de la loi de fatigue standard se réduit à :

$f(x)={\frac {{\sqrt {x}}+{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{2\gamma x}}\phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0$

Étant donné que la forme générale des fonctions de probabilité peut être exprimée en fonction des fonctions de la loi standard, toutes les formules suivantes sont données pour la forme standard de la fonction.

Fonction de répartition

La formule de la fonction de répartition est

$F(x)=\Phi \left({\frac {{\sqrt {x}}-{\sqrt {\frac {1}{x}}}}{\gamma }}\right)\quad x>0;\gamma >0$

où Φ est la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.

Fonction quantile

La formule de la fonction quantile est

$G(p)={\frac {1}{4}}\left[\gamma \Phi ^{-1}(p)+{\sqrt {4+\left(\gamma \Phi ^{-1}(p)\right)^{2}}}\right]^{2}$

où Φ ^{− 1} est la fonction quantile de la loi normale centrée réduite.

Relation avec la loi normale inverse

On peut démontrer que la loi de Birnbaum-Saunders résulte d'un mélange entre une loi inverse-gaussienne et une loi inverse-gausienne réciproque.

Cette propriété peut être conceptualisée en considérant le processus de Wiener avec dérive : le premier temps d’atteinte d’un point suivra une loi inverse-gaussienne, le dernier temps d’atteinte de ce point suivra une loi inverse-gaussienne réciproque, et la loi de Birnbaum-Saunders représenterait la probabilité que le processus soit au-delà du point, quel que soit le nombre de fois où il a dépassé ou dépassera le point.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Birnbaum–Saunders distribution » (voir la liste des auteurs).

• (en) Z. W. Birnbaum et S. C. Saunders, « A new family of life distributions », Journal of Applied Probability, vol. 6, n^o 2,‎ 1969, p. 319–327 (DOI 10.2307/3212003, JSTOR 3212003, lire en ligne [archive du 23 septembre 2017] )
• (en) A.F. Desmond, « Stochastic models of failure in random environments », Canadian Journal of Statistics, vol. 13, n^o 3,‎ 1985, p. 171–183 (DOI 10.2307/3315148, JSTOR 3315148)
• (en) N. Johnson, S. Kotz et N. Balakrishnan, Continuous Univariate Distributions, vol. 2, New York, Wiley, 1995
• (en) A. J. Lemonte, F. Cribari-Neto et K. L. P. Vasconcellos, « Improved statistical inference for the two-parameter Birnbaum–Saunders distribution », Computational Statistics and Data Analysis, vol. 51, n^o 9,‎ 2007, p. 4656–4681 (DOI 10.1016/j.csda.2006.08.016)
• (en) A. J. Lemonte, A. B. Simas et F. Cribari-Neto, « Bootstrap-based improved estimators for the two-parameter Birnbaum–Saunders distribution », Journal of Statistical Computation and Simulation, vol. 78,‎ 2008, p. 37–49 (DOI 10.1080/10629360600903882, lire en ligne)
• (en) G. M. Cordeiro et A. J. Lemonte, « The β-Birnbaum–Saunders distribution: An improved distribution for fatigue life modeling », Computational Statistics and Data Analysis, vol. 55, n^o 3,‎ 2011, p. 1445–1461 (DOI 10.1016/j.csda.2010.10.007)

Liens externes

• (en) Fatigue life distribution