Loi inverse-gaussienne généralisée

En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.

Loi inverse-gaussienne généralisée
Paramètres	$\delta \geq 0,$ $\gamma \geq 0,$ $\lambda \in \mathbb {R}$
Support	$[0,\infty [$
Densité de probabilité	$\left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}$
Espérance	${\frac {\delta K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{\gamma \ K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
Mode	${\frac {(\lambda -1)+{\sqrt {(\lambda -1)^{2}+(\delta \gamma )^{2}}}}{\gamma ^{2}}}$
Variance	$\left({\frac {^{\delta }}{\gamma }}\right)^{2}\left[{\frac {K_{^{\lambda }+2}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}-\left({\frac {K_{\lambda +1}(\delta \gamma )}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}\right)^{2}\right]$
Fonction génératrice des moments	$\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}-2t}}\right)^{\frac {\lambda }{2}}{\frac {K_{\lambda }({\sqrt {\delta ^{2}(\gamma ^{2}-2t}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$
Fonction caractéristique	$\left({\frac {\gamma ^{2}}{\gamma ^{2}-2it}}\right)^{\frac {^{\lambda }}{2}}{\frac {K_{\lambda }({\sqrt {\delta ^{2}(\gamma ^{2}-2it}})}{K_{\lambda }(\delta \gamma )}}$

Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique, en hydrologie ou en finance. Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen, puis la loi a été popularisée par Ole Barndorff-Nielsen (en) qui lui a donné son nom, ainsi que par Herbert Sichel (en), la loi est également connue sous le nom de loi de Sichel.

La notation $X\sim GIG(\lambda ,\delta ,\gamma )$ indique que la variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.

Caractérisation

La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

$f(x)={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}$

où $\scriptstyle K_{\lambda }$ est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre $\scriptstyle \lambda$, et les paramètres vérifient :

${\begin{cases}\delta \geq 0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda >0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda =0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma \geq 0\;&{\text{ si }}\lambda <0.\end{cases}}$

Entropie

L'entropie de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par :

$H(f(x))=\log \left({\frac {\delta }{\gamma }}\right)+\log \left(2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)\right)-(\lambda -1){\frac {\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }}{K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}+{\frac {\delta \gamma }{2K_{\lambda }\left(\delta \gamma \right)}}\left(K_{\lambda +1}\left(\delta \gamma \right)+K_{\lambda -1}\left(\delta \gamma \right)\right)$

où $\left[{\frac {d}{d\nu }}K_{\nu }\left(\delta \gamma \right)\right]_{\nu =\lambda }$ est la dérivée par rapport à l'ordre $\nu$ de la fonction de Bessel modifiée et évaluée en $\nu =\lambda$.

Liens avec d'autres lois

• Lorsque $\scriptstyle \lambda =-1/2$, la loi $\scriptstyle {\text{GIG}}(-1/2,\delta ,\gamma )$ est une loi inverse-gaussienne.
• La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour $\scriptstyle \delta =0$.