En théorie des probabilités et en statistique, la loi inverse-gaussienne généralisée (GIG, pour generalized inverse Gaussian distribution en anglais) est une loi de probabilité continue qui généralise la loi inverse-gaussienne en introduisant un troisième paramètre.
Loi inverse-gaussienne généralisée
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Paramètres
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Support
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Densité de probabilité
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Espérance
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Mode
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Variance
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Fonction génératrice des moments
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Fonction caractéristique
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Cette loi est utilisée, par exemple, en géostatistique, en hydrologie ou en finance. Elle a été initialement proposée par le statisticien et hydrologue Étienne Halphen[1], puis la loi a été popularisée par Ole Barndorff-Nielsen (en) qui lui a donné son nom, ainsi que par Herbert Sichel (en), la loi est également connue sous le nom de loi de Sichel.
La notation
indique que la variable aléatoire X suit une loi inverse-gaussienne généralisée.
La densité de probabilité de la loi inverse-gaussienne généralisée est donnée par[2] :
![{\displaystyle f(x)={\begin{cases}\displaystyle \left({\frac {\gamma }{\delta }}\right)^{\lambda }{\frac {1}{2K_{\lambda }(\delta \gamma )}}x^{\lambda -1}e^{-{\frac {1}{2}}(\gamma ^{2}x+{\frac {\delta ^{2}}{x}})}&{\text{ si }}x>0\\0&{\text{ sinon}}\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55fcce5baed3c6450e8b9a2de579c5a72a5fcd73)
où
est la fonction de Bessel modifiée de troisième espèce et de paramètre
, et les paramètres vérifient :
![{\displaystyle {\begin{cases}\delta \geq 0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda >0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma >0\;&{\text{ si }}\lambda =0\;,\\\delta >0\;,\;\gamma \geq 0\;&{\text{ si }}\lambda <0.\end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a18b45572de030eb24ff9a686a3196e04e9e245)
- Lorsque
, la loi
est une loi inverse-gaussienne[2].
- La loi gamma est un cas particulier de la loi inverse-gaussienne généralisée pour
[2].