Loi logistique

	Loi logistique
	; Densité de probabilité
	; Fonction de répartition
Paramètres	μ réel; s>0 réel
Support	x∈]−∞,+∞[
Densité de probabilité	e−(x−μ)/ss(1+e−(x−μ)/s)2
Fonction de répartition	11+e−(x−μ)/s
Espérance	μ
Médiane	μ
Mode	μ
Variance	π23s2
Asymétrie	0
Kurtosis normalisé	6/5
Entropie	ln⁡(s)+2
Fonction génératrice des moments	eμtB(1−st,1+st); pour \|st\|<1, Fonction bêta
Fonction caractéristique	eiμtB(1−ist,1+ist); pour \|ist\|<1
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Définition et propriétés

La loi logistique a deux paramètres μ et s > 0 et sa densité est :

f (x; μ, s) = \frac{e^{- \frac{x - μ}{s}}}{s {(1 + e^{- \frac{x - μ}{s}})}^{2}} = \frac{1}{4 s} {sech}^{2} (\frac{x - μ}{2 s})

F (x; μ, s) = \frac{1}{1 + e^{- \frac{x - μ}{s}}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \tanh (\frac{x - μ}{2 s})

Son espérance et sa variance sont données par les formules suivantes :

𝔼 (X) = μ

Var (X) = \frac{s^{2} π^{2}}{3}

La loi logistique standard est la loi logistique de paramètres 0 et 1. Sa fonction de répartition est la sigmoïde :

F (x) = \frac{1}{1 + e^{- x}}

Son espérance vaut alors 0 et sa variance $π 2 / 3$ .

Si $X \sim logistique (μ, β)$ alors $k X + l \sim logistique (k μ + l, k β)$ .
Si $X \sim 𝒰 (0; 1)$ (loi uniforme continue) alors $μ + β (\ln (X) - \ln (1 - X)) \sim logistique (μ, β)$
Si $X, Y \sim 𝒢 (α, β)$ (loi de Gumbel) alors $X - Y \sim logistique (0, β)$ .
Si $X, Y \sim 𝒢 ℰ 𝒱 (α, β, 0)$ (loi d'extremum généralisée) alors $X - Y \sim logistique (0, β)$ .
Si $X \sim 𝒢 (α, β), Y \sim 𝒢 ℰ 𝒱 (α, β, 0)$ alors $X + Y \sim logistique (2 α, β)$ .
Si $X \sim logistique (μ, s)$ alors son exponentielle suit une loi log-logistique : $\exp (X) \sim \log - logistique (α = e^{μ}, β = \frac{1}{s})$ , et $\exp (X) + γ \sim \log - logistique 3 (α = e^{μ}, β = \frac{1}{s}, γ)$ (loi log-logistique à trois paramètres)
Si $X \sim ℰ (1)$ (loi exponentielle) alors

μ + β \ln (e^{X} - 1) \sim logistique (μ, β) .

μ - β \ln (\frac{X}{Y}) \sim logistique (μ, β) .

La loi logistique est aussi utilisée pour le classement Elo.

Loi logistique
Densité de probabilité


Fonction de répartition

Paramètres	$μ$ réel $s > 0$ réel
Support	$x \in] - \infty, + \infty [$
Densité de probabilité	$\frac{e^{- (x - μ) / s}}{s {(1 + e^{- (x - μ) / s})}^{2}}$
Fonction de répartition	$\frac{1}{1 + e^{- (x - μ) / s}}$
Espérance	$μ$
Médiane	$μ$
Mode	$μ$
Variance	$\frac{π^{2}}{3} s^{2}$
Asymétrie	$0$
Kurtosis normalisé	$6 / 5$
Entropie	$\ln (s) + 2$
Fonction génératrice des moments	$e^{μ t} B (1 - s t, 1 + s t)$ pour $\| s t \| < 1$ , Fonction bêta
Fonction caractéristique	$e^{i μ t} B (1 - i s t, 1 + i s t)$ pour $\| i s t \| < 1$
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