Méthode tau

En analyse numérique la méthode tau est, avec la méthode de Galerkine ou celle de collocation, l'une des méthodes utilisée dans le cadre des méthodes spectrales pour la résolution des équations différentielles ou aux dérivées partielles^[1]^,^[2]^,^[3].

Si ce bandeau n'est plus pertinent, retirez-le. Cliquez ici pour en savoir plus.

Le fond de cet article est à vérifier (février 2026).

Exemple simple

On considère l'équation différentielle suivante établissant la fonction $u (x)$ définie sur l'intervalle $x \in [0, 1]$ :

u^{'} (x) - u (x) = 0, u (0) = 1

Sa solution exacte est $u = \exp (x)$ . On cherche une solution approchée en écrivant l'équation :

u^{'} (x) - u (x) + τ P (x) = 0, u (0) = 1

où $P (x)$ est un polynôme de degré N. Il existe un polynôme tel que la solution soit également un polynôme de degré N et $τ$ un paramètre que l'on espère petit. Par exemple, si on prend $P (x) = x^{2}$ la solution s'écrit :

u (x) = \frac{x^{2}}{2} + x + 1

pour

τ = 1 / 2

.

Le résidu par rapport au développement de la solution exacte est en $x^{2} / 2$ . On obtient ainsi une approximation heuristique raisonnable au regard de la simplicité de la méthode. En augmentant l'ordre à la valeur N, l'erreur est en $\frac{x^{N}}{N!}$ et décroît donc avec N.

On peut généraliser cette méthode à un système d'équations aux dérivées partielles linéaire^[4].

Généralisation de la méthode

Cette méthode a été généralisée, en particulier par Steven Orszag. On considère l'équation différentielle :

L u (x) - f (x) = 0, α < x < β

où $L$ est un opérateur linéaire.

Les conditions aux bords sont données par les opérateurs $B_{-}$ et $B_{+}$ (linéaires, de type Dirichlet, Neumann ou Robin) :

\begin{matrix} B_{-} u (α) & = & g_{-} \\ [0.3 e m] B_{+} u (β) & = & g_{+} \end{matrix}

On recherche la solution sous la forme d'une série de fonctions de base :

u_{N} (x) = \sum_{n = 0}^{N} a_{n} ϕ_{n} (x)

Ces fonctions de base sont orthogonales avec un poids donné w positif, adapté au choix de la fonction de base :

(ϕ_{i}, ϕ_{j})_{w} = \int ϕ_{i} \overline{ϕ_{j}} w d x = c_{i} δ_{i j}

où $δ$ est le symbole de Kronecker.

Elles vérifient les conditions aux bords :

\begin{matrix} B_{-} u_{N} (α) & = & g_{-} \\ [0.3 e m] B_{+} u_{N} (β) & = & g_{+} \end{matrix}

On appelle résidu la quantité :

R_{N} (x) = L u_{N} (x) - f (x)

Le problème est donc de résoudre le système :

(R_{N}, ϕ_{m})_{w} = 0, \forall m = 0, N - 2

soit :

\sum_{n = 0}^{N} a_{n} (L ϕ_{n}, ϕ_{m}) = (f, ϕ_{m})_{w}, \forall m = 0, N - 2

Avec les deux conditions aux bords, on obtient ainsi un système linéaire de $N + 1$ équations à résoudre.

Les polynômes couramment utilisés sont ceux de Tchebychev, de Legendre ou de Laguerre^[2].

Exemple d'une équation différentielle

On considère l'équation différentielle suivante^[5] portant sur la fonction $u (x)$ définie sur l'intervalle $x \in [- 1, 1]$ :

u^{″} (x) = 1, u (- 1) = 0, u^{'} (1) = 0

Sa solution exacte est $u = \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{3}{2}$ . On cherche une solution approchée sous forme d'un développement en polynômes de Tchebychev :

\begin{matrix} u (x) & = & \sum_{n = 0}^{N} a_{n} T_{n} (x) \\ [0.3 e m] \frac{d u}{d x} & = & \sum_{n = 0}^{N - 1} a_{n}^{(1)} T_{n} (x) \\ [0.3 e m] \frac{d^{2} u}{d x^{2}} & = & \sum_{n = 0}^{N - 2} a_{n}^{(2)} T_{n} (x) \end{matrix}

En substituant dans l'équation différentielle et les conditions aux limites; il vient :

\begin{matrix} \sum_{n = 0}^{N - 2} a_{n}^{(2)} T_{n} (x) & = & 1 \\ [0.3 e m] \sum_{n = 0}^{N} a_{n} T_{n} (- 1) & = & 0 \\ [0.3 e m] \sum_{n = 0}^{N - 1} a_{n}^{(1)} T_{n} (1) & = & 0 \end{matrix}

On utilise les relations de récurrence :

\sum_{n = 1}^{N} a_{n} \frac{d T}{d x} (1) = \sum_{n = 1}^{N} a_{n} n^{2}

Les relations d'orthogonalité permettent de calculer les coefficients $a_{n}^{(2)}$ :

a_{n}^{(2)} = δ_{0 n}

Par substitution dans les conditions aux limites et en tenant compte de $T_{n} (1) = 1$ et $T_{n} (- 1) = (- 1)^{n}$ :

\sum_{n = 0}^{N} (- 1)^{n} a_{n} = 0

\sum_{n = 1}^{N} n^{2} a_{n} = 0

On prend $N = 5$ . Dans ce cas, les termes d'ordre 2 deviennent :

\begin{matrix} a_{0}^{(2)} & = & 4 a_{2} + 32 a_{4} & = & 1 \\ [0.2 e m] a_{1}^{(2)} & = & 24 a_{3} + 120 a_{5} & = & 0 \\ [0.2 e m] a_{2}^{(2)} & = & 48 a_{4} & = & 0 \\ [0.2 e m] a_{3}^{(2)} & = & 48 a_{4} & = & 0 \end{matrix}

et les conditions aux limites s'écrivent :

\begin{matrix} a_{0} - a_{1} + a_{2} - a_{3} + a_{4} - a_{5} & = & 0 \\ [0.2 e m] a_{1} + 4 a_{2} + 9 a_{3} + 16 a_{4} + 25 a_{5} & = & 0 \end{matrix}

La solution du système matriciel des 6 équations est :

a = {(- \frac{5}{4}, - 1, \frac{1}{4}, 0, 0, 0)}^{T}

La solution du problème est donc :

\begin{matrix} u (x) & = & - \frac{5}{4} T_{0} (x) - T_{1} (x) + \frac{1}{4} T_{2} (x) \\ [0.3 e m] & = & \frac{x^{2}}{2} - x - \frac{3}{2} \end{matrix}

C'est la solution exacte du problème.

Voir aussi

Références

↑ Olivier Thual, « Introduction aux méthodes spectrales », sur ENSEEIHT, 1993
1 2 (en) Claudio Canuto, M. Youssuff Hussaini, Alfio Quarteroni et Thomas A. Zang, Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains, Springer-Verlag, 2006 (ISBN 978-3-540-30726-6)
↑ (en) John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods, Dover, 2001 (ISBN 978-0486411835, lire en ligne)
↑ (en) « Tau Method », sur Dedalus Project
↑ (en) Duane Johnson, Chebyshev Polynomials in the Spectral Tau Method and Applications to Eigenvalues Problems, NASA Contractor Report 198451, 1996 (lire en ligne)

Portail de l'analyse

[1] Olivier Thual, « Introduction aux méthodes spectrales », sur ENSEEIHT, 1993

[Canuto-2] 1 2 (en) Claudio Canuto, M. Youssuff Hussaini, Alfio Quarteroni et Thomas A. Zang, Spectral Methods. Fundamentals in Single Domains, Springer-Verlag, 2006 (ISBN 978-3-540-30726-6)

[3] (en) John P. Boyd, Chebyshev and Fourier Spectral Methods, Dover, 2001 (ISBN 978-0486411835, lire en ligne)

[4] (en) « Tau Method », sur Dedalus Project

[5] (en) Duane Johnson, Chebyshev Polynomials in the Spectral Tau Method and Applications to Eigenvalues Problems, NASA Contractor Report 198451, 1996 (lire en ligne)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]