Métrique de Lemaître

La métrique de Lemaître est une métrique de la relativité générale créée par Georges Lemaître en 1938, et décrivant un référentiel en chute libre dans le cadre d'un espace temps doté d'un unique corps massif à symétrie sphérique, sans charge et de moment cinétique nul, et donc utilisable au voisinage d'un trou noir de Schwarzschild.

Cette métrique, issue de la métrique de Schwarzschild, détermine les propriétés d'un référentiel synchrone, donc en chute libre, où les corps en chute libre chutent en même temps que lui (par le principe d'équivalence), ainsi que son système de coordonnées : donc ces corps ont des coordonnées spatiales constantes dans ce référentiel. Les calculs font apparaitre que le rayon de Schwarzschild n'est pas une singularité, mais un passage à partir duquel un retour en arrière n'est plus possible, et que la durée de la chute depuis l'extérieur du trou noir jusqu'à la singularité centrale, en temps propre, est finie.

Cette métrique est toutefois insuffisante pour une description complète de la dynamique d'un corps dans le voisinage d'un trou noir, alors que la métrique de Kruskal-Szekeres (1960) le permet.

Expression de la métrique

Les coordonnées de Lemaître $(T,R,\theta ,\phi )$ sont un système de coordonnées utilisées pour exprimer la métrique de Schwarzschild. Lemaître les a proposées en 1932 dans L'Univers en expansion. Elles sont sont avérées être un cas particulier des coordonnées de Novikov.

La métrique de Schwarzschild, exprimée en coordonnées de Lemaître, est dite métrique de Lemaître. Elle est donnée par :

${\rm {d}}s^{2}=c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-{4 \over 9}\left[{9GM \over 2c^{2}\left(R-cT\right)}\right]^{2/3}\,{\rm {d}}R^{2}-\left[{9GM \over 2c^{2}}\left(R-cT\right)^{2}\right]^{2/3}\left({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2}\right)$,

où :

• $c$ est la vitesse de la lumière dans le vide ;
• $G$ est la constante gravitationnelle ;
• $M$ est la masse.

Elle peut aussi s'écrire :

${\rm {d}}s^{2}=c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-{1 \over \left({3 \over 2R_{S}}\left(R-cT\right)\right)^{2/3}}\,{\rm {d}}R^{2}-\left({3 \over 2}\,\left(R-cT\right)\right)^{4/3}\,{R_{S}}^{2/3}\,\left({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2}\right)$

où :

• $T$ est la variable temps, qui est le temps propre de toute particule au repos dans ce référentiel en chute libre ;
• $R$ est la variable spatiale ; constante pour une particule immobile dans ce référentiel, donc en chute libre avec lui ;
• $R_{S}$ est le rayon de Schwarzschild.

Pour $R-cT>0$, les signes des coefficients de ${\rm {d}}T^{2}$ et ${\rm {d}}R^{2}$ montrent qu'il s'agit bien là de coordonnées respectivement partout temporelle et partout spatiale.

Ou, sous une forme simplifiée :

${\rm {d}}s^{2}=c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-{{\rm {d}}R^{2} \over B}-B^{2}{R_{S}}^{2}\left({\rm {d}}\,\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2}\right)$

avec $B=\left({3 \over 2R_{S}}\left(R-cT\right)\right)^{2/3}$

Calcul

L'idée est, à partir de la métrique de Schwarzschild, de déterminer des variables $T$ et $R$ vérifiant

$c\,{\rm {d}}T=c\,{\rm {d}}t+{f(r)\,{\rm {d}}r \over 1-{R_{S} \over r}}$

et

${\rm {d}}R=c\,{\rm {d}}t+{{\rm {d}}r \over f(r)\,\left(1-{R_{S} \over r}\right)}$

et permettant d'éliminer la singularité du rayon de Schwarzschild.

En remplaçant dans la métrique de Schwarzschild, on obtient

${\rm {d}}s^{2}={1-{R_{S} \over r} \over 1-f^{2}(r)}\,\left(c^{2}\,{\rm {d}}T^{2}-f^{2}(r)\,{\rm {d}}R^{2}\right)-r^{2}\,({\rm {d}}\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\rm {d}}\phi ^{2})$

La singularité est éliminée pour $f(r)={\sqrt {R_{S} \over r}}$.

Par intégration, on obtient

$R-c\,T={2/3}\,{r^{3/2} \over {R_{S}}^{1/2}}$,

d'où

$r=\left({3 \over 2}\,\left(R-c\,T\right)\right)^{2/3}\,{R_{S}}^{1/3}=B\,R_{S}$,

et la métrique de Lemaître en remplaçant dans le ${\rm {d}}s^{2}$ donné plus haut.

On obtient également:

$t={R_{S} \over c}\left(-{2 \over 3}B^{1/2}+\ln \left|{B^{1/2}+1 \over B^{1/2}-1}\right|+{R \over R_{S}}\right)$,

toujours avec $B=\left({3 \over 2R_{S}}\left(R-cT\right)\right)^{2/3}$

Chute radiale d'un corps dans un trou noir

Les droites inclinées vérifient R-c.T = constante (ce qui implique que r = constante). La 1^re en trait plein correspond à r = 0, la 2de en trait plein correspond à r = R_s. Un corps en chute libre suit la droite verticale (avec le temps T croissant, donc vers le haut du graphique) et la base de son cône de lumière est en rouge.

Dans un graphique où le temps $T$ est sur l'axe vertical, et la coordonnée spatiale $R$ est sur l'axe horizontal, une droite d'équation $R-c\,T={\text{constante}}$ correspond à la contrainte $r=constant$ sur la coordonnée $r$ de la métrique de Schwarzschild.

$R-c\,T=0$ est la singularité $r=0$, présente dans toute métrique avec les conditions physiques imposées (car c'est une singularité de tenseur de courbure de l'espace-temps).

La contrainte $r=R_{S}$ correspond à $R-c\,T={2 \over 3}\,R_{S}$.

La métrique étant synchrone, une ligne de temps est une géodésique : pour une chute libre radiale (donc une évolution suivant la seule coordonnée $r$ de la métrique de Schwarzschild) les géodésiques sont les droites verticales, et sont parcourues dans le sens du temps $T$ croissant.

On montre, en prenant ${\rm {d}}s^{2}=0$, que pour la lumière

${{\rm {d}}R \over c\,{\rm {d}}T}=\pm {\sqrt {r \over R_{S}}}$,

ce qui donne les pentes du bords du cône de lumière du corps. Donc :

• si $r>R_{S}$, le cône de lumière du corps inclut la droite $R-c\,T={\text{constante}}$ sur laquelle est le corps car pour cette droite

${{\rm {d}}R \over c\,{\rm {d}}T}=1\in \left]-{\sqrt {r \over R_{S}}};+{\sqrt {r \over R_{S}}}\right[$

une orbite autour du trou noir est donc envisageable, voire un retour vers des valeurs croissantes de $r$ ;

• si $r\leq R_{S}$, le cône de lumière du corps n'inclut pas (strictement) la droite $R-c\,T={\text{constante}}$ sur laquelle est le corps, une orbite à l'intérieur du trou noir est donc inenvisageable, le corps est appelé à progresser vers les valeurs décroissantes de $r$ : la chute vers la singularité $r=0$ est inexorable et se fait en un temps propre $T$ fini.

On remarque que $r=R_{S}$ n'est pas une singularité de cette métrique, mais correspond à une impossibilité de retour en arrière, ou même de position stationnaire pour un corps massif.

Mouvement centrifuge et limite de cette métrique

Pour obtenir un mouvement centrifuge radial, il suffit de changer le signe du temps propre, on a alors

$c\,{\rm {d}}T=-\left(c\,{\rm {d}}t+{f(r)\,{\rm {d}}r \over 1-{R_{S} \over r}}\right)$

${\rm {d}}R=c\,{\rm {d}}t+{{\rm {d}}r \over f(r)\,\left(1-{R_{S} \over r}\right)}$

et le même graphique que dans le cas du mouvement centripète, mais avec l'axe du temps orienté dans l'autre sens, et des trajectoires des corps dirigées vers le bas du graphique (c'est-à-dire toujours vers $T$ croissant) ce qui montre une sortie, puis une fuite loin du trou noir.

Mais le sens physique à donner alors à ce mouvement n'est pas évident car sur les droites verticales du graphique, on a

${\rm {d}}R=c\,{\rm {d}}t+{{\rm {d}}r \over f(r)\,\left(1-{R_{S} \over r}\right)}=0$,

d'où ${{\rm {d}}r \over {\rm {d}}t}<0$ pour $r>R_{S}$.

La progression du corps devrait donc être toujours orientée vers le trou noir. Le même calcul pour $0<r\leqslant R_{S}$ n'est pas pertinent car cette contrainte fait perdre à $t$ son sens physique dans la métrique de Schwarzschild, donc ${{\rm {d}}r \over {\rm {d}}t}$ n'a pas de sens physique.

Cette contradiction entre aspects mathématique et physique montre que cette métrique est impropre à décrire toutes les possibilités dynamiques d'un corps aux abords d'un trou noir.

Notes et références

Voir aussi

Bibliographie

• [Bambi 2017] (en) Cosimo Bambi, Black holes : a laboratory for testing strong gravity, Singapour, Springer, hors coll., juin 2017 (réimpr. décembre 2018), 1^re éd., XV-340 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-981-10-4523-3 et 978-981-13-5158-7, EAN 9789811045233, OCLC 1012400233, DOI 10.1007/978-981-10-4524-0, Bibcode 2017bhlt.book.....B, S2CID 125849118, SUDOC 22044952X, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Choquet-Bruhat 2014] (en) Yvonne Choquet-Bruhat (préf. Thibault Damour), Introduction to general relativity, black holes, and cosmology, Oxford, OUP, hors coll., novembre 2014, 1^re éd., XX-279 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-966645-4 et 978-0-19-966646-1, EAN 9780199666454, OCLC 907120831, BNF 43904276, Bibcode 2015igrb.book.....C, S2CID 118569429, SUDOC 184906695, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]).
• [Emam 2021] (en) Moataz H. Emam, Covariant physics : from classical mechanics to general relativity and beyond, Oxford, OUP, coll. « Oxford scholarship », mars 2021, 1^re éd., XVII-384 p., 17,1 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-886489-9 et 978-0-19-886500-1, EAN 978-0-19886489-9, OCLC 1198976638, DOI 10.1093/oso/9780198864899.001.0001, Bibcode 2021cpfc.book.....E, S2CID 236747090, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Eisenstaedt 1993] (en) Jean Eisenstaedt, « Lemaître and the Schwarzschild solution », dans John Earman, Michel Janssen et John D. Norton (éd. et préf.), The attraction of gravitation : new studies in the history of general relativity, Boston, Bâle et Berlin, Birkhäuser, coll. « Einstein studies » (n^o 5), décembre 1993, 1^re éd., X-432 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 0-8176-3624-2 et 3-7643-3624-2, EAN 9780817636241, OCLC 468313142, BNF 37536464, Bibcode 1993agns.book.....E, S2CID 118258762, SUDOC 017407214, présentation en ligne, lire en ligne), partie V, chap. 1^er, p. 353-389.
• [Gourgoulhon 2014] Éric Gourgoulhon, Relativité générale (cours d'introduction à la relativité générale, donné en 2^de année du master d'initiation à la recherche en Astronomie, astrophysique et ingénierie spatiale de la Fédération des enseignements d'astronomie et d'astrophysique d'Île-de-France (Observatoire de Paris, universités Paris-VI, Paris-VII et Paris-XI, École normale supérieure), année universitaire 2013-2014), mars 2014, 341 p. (HAL cel-00366315, lire en ligne [PDF]).
• [Heinicke et Hehl 2017] (en) Christian Heinicke et Friedrich W. Hehl, « Schwarzschild and Kerr solutions of Einstein's field equation : an introduction », dans Wei-Tou Ni (éd. et préf.), One hundred years of general relativity : from genesis and empirical foundations to gravitational waves, cosmology and quantum gravity, t. I^er, Singapour, World Scientific, hors coll., juillet 2017, 1^re éd., XXXII p., I-CP16 p., I-631 p. et XLI p., 17 × 24,4 cm (ISBN 978-981-4678-48-3, EAN 9789814678483, OCLC 1002304256, BNF 45102782, DOI 10.1142/9389-vol1, Bibcode 2017ohy1.book.....N, SUDOC 203795857, présentation en ligne, lire en ligne [PDF]), chap. 3, p. 109-185.
• [Hobson, Efstathiou et Lasenby 2009] (en) Michael P. Hobson, George P. Efstathiou et Anthony N. Lasenby (trad. de l'anglais américain par Loïc Villain, révision scientifique par Richard Taillet), Relativité générale [« General relativity : an introduction for physicists »], Bruxelles, De Boeck Université, hors coll., décembre 2009, 1^re éd., XX-554 p., 21,6 × 27,5 cm (ISBN 978-2-8041-0126-8, EAN 9782804101268, OCLC 690272413, BNF 42142174, SUDOC 140535705, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Lambert 2013] (en) Dominique Lambert, « Georges Lemaître : the priest who invented the Big Bang », dans Rodney D. Holder et Simon Mitton (éd.), Georges Lemaître : life, science and legacy, Berlin et Heidelberg, Springer, coll. « Astrophysics and space science library » (n^o 395), janvier 2013 (réimpr. juin 2015), 1^re éd., XII-201 p., 15,6 × 23,4 cm (ISBN 978-3-642-32253-2 et 978-3-642-44220-9, EAN 9783642322532, OCLC 835027659, DOI 10.1007/978-3-642-32254-9, Bibcode 2012ASSL..395.....H, S2CID 117896780, SUDOC 167346970, présentation en ligne, lire en ligne), chap. 2, p. 9-21.
• [Lemaître 1933] Georges Lemaître, « L'Univers en expansion », Annales de la Société scientifique de Bruxelles, série A : Sciences mathématiques, t. LIII, n^o 2,‎ 1933, p. 51-85 (OCLC 838070418, Bibcode 1933ASSB...53...51L).
• [Padmanabhan 2010] (en) Thanu Padmanabhan, Gravitation : foundations and frontiers, Cambridge, CUP, hors coll., janvier 2010, 1^re éd., XXVIII-700 p., 17,8 × 25,4 cm (ISBN 978-0-521-88223-1, EAN 9780521882231, OCLC 672212945, BNF 42511898, DOI 10.1017/CBO9780511807787, Bibcode 2010grav.book.....P, S2CID 118089084, SUDOC 143152386, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Plebański et Krasiński 2006] (en) Jerzy Plebański et Andrzej Krasiński, An introduction to general relativity and cosmology, Cambridge, CUP, hors coll., août 2006 (réimpr. septembre 2012), XIX-534 p., 18 × 25 cm (ISBN 978-0-521-85623-2 et 978-1-107-40736-7, EAN 9780521856232, OCLC 470624042, BNF 40201789, DOI 10.1017/CBO9780511617676, Bibcode 2006igrc.book.....P, S2CID 117162637, SUDOC 108448983, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Rahaman 2021] (en) Farook Rahaman, The general theory of relativity : a mathematical approach, Cambridge, CUP, hors coll., septembre 2021, 1^re éd., XXII-404 p., 18,7 × 24,7 cm (ISBN 978-1-108-83799-6, EAN 9781108837996, OCLC 1365637524, DOI 10.1017/9781108837996, Bibcode 2021gtrm.book.....R, S2CID 121883886, SUDOC 267319665, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Siparov 2011] (en) Sergey Siparov, Introduction to the anisotropic geometrodynamics, Singapour, World Scientific, coll. « Series on knots and everything » (n^o 47), septembre 2011, 1^re éd., XII-303 p., 15,2 × 22,9 cm (ISBN 978-981-4340-83-0, EAN 9789814340830, OCLC 800919967, DOI 10.1142/8095, S2CID 18838181, SUDOC 158264762, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Steane 2021] (en) Andrew M. Steane, Relativity made relatively easy, t. II : General relativity and cosmology, Oxford, OUP, coll. « Oxford scholarship », novembre 2021, 1^re éd., XIV-494 p., 18,9 × 24,6 cm (ISBN 978-0-19-289564-6 et 978-0-19-289354-3, EAN 9780192895646, OCLC 1263809499, DOI 10.1093/oso/9780192895646.001.0001, Bibcode 2021rmre.book.....S, S2CID 245395442, SUDOC 255661223, présentation en ligne, lire en ligne).
• [Stephani 2004] (en) Hans Stephani, Relativity : an introduction to special and general relativity, Cambridge, CUP, hors coll., février 2004, 3^e éd. (1^re éd. 1982), XX-396 p., 15,2 × 22,8 cm (ISBN 0-521-81185-6 et 0-521-01069-1, EAN 9780521811859, OCLC 491383792, BNF 39125689, DOI 10.1017/CBO9780511616532, Bibcode 2004risg.book.....S, S2CID 117986196, SUDOC 078137705, présentation en ligne, lire en ligne).