Matrice de Bézout

En mathématiques, une matrice de Bézout (ou bézoutienne) est une matrice carrée particulière associée à deux polynômes, introduite par James Joseph Sylvester en 1853 et Arthur Cayley en 1857, et nommée d'après Étienne Bézout. Le terme « bézoutien » peut également désigner le déterminant de cette matrice, qui est égal au résultant des deux polynômes. Les matrices de Bézout sont parfois utilisées pour tester la stabilité d'un polynôme donné.

Définition

Soient $P(z)$ et $Q(z)$ deux polynômes complexes de degré au plus n ,

$P(z)=\sum _{i=0}^{n}p_{i}z^{i},\qquad Q(z)=\sum _{i=0}^{n}q_{i}z^{i}.$

(On peut remarquer que tout coefficient $p_{i}$ ou $q_{i}$ peut être nul.)

La matrice de Bézout d'ordre n associée aux polynômes P et Q est

$B_{n}(PQ)=\left(b_{ij}\right)_{i,j=0,\dots ,n-1}$

où les valeurs $b_{ij}$ se déduisent de l'identité

${\frac {P(x)Q(y)-P(y)Q(x)}{x-y}}=\sum _{i,j=0}^{n-1}b_{ij}\,x^{i}\,y^{j}.$

Il s'agit d'une matrice complexe n × n, et ses éléments sont tels que si on pose $\ell _{ij}=\max\{0,i-j\}$ et $m_{ij}=\min\{i,n-1-j\}$ pour chaque $i,j=0,\dots ,n-1$, alors:

$b_{ij}=\sum _{k=\ell _{ij}}^{m_{ij}}(p_{j+k+1}q_{i-k}-p_{i-k}q_{j+k+1}).$

À chaque matrice de Bézout, on peut associer la forme bilinéaire suivante, appelée la bézoutienne :

$\operatorname {Bez$ :\mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} :(x,y)\mapsto \operatorname {Bez} (x,y)=x^{*}B_{n}(P,Q)\,y.}

Exemples

• Pour n = 3, on a pour tous polynômes P et Q de degré (au plus) 3 :

$B_{3}(P,Q)=\left[{\begin{matrix}p_{1}q_{0}-p_{0}q_{1}&p_{2}q_{0}-p_{0}q_{2}&p_{3}q_{0}-p_{0}q_{3}\\p_{2}q_{0}-p_{0}q_{2}&p_{2}q_{1}-p_{1}q_{2}+p_{3}q_{0}-p_{0}q_{3}&p_{3}q_{1}-p_{1}q_{3}\\p_{3}q_{0}-p_{0}q_{3}&p_{3}q_{1}-p_{1}q_{3}&p_{3}q_{2}-p_{2}q_{3}\end{matrix}}\right]\!.$

• On considère les deux polynômes $P(x)=3x^{3}-x$ et $Q(x)=5x^{2}+1$ deux polynômes. Alors :

$B_{4}(P,Q)=\left[{\begin{matrix}-1&0&3&0\\0&8&0&0\\3&0&15&0\\0&0&0&0\end{matrix}}\right]\!.$

La dernière ligne et la dernière colonne sont toutes deux nulles car P et Q ont un degré strictement inférieur à 4. Les autres valeurs nulles s'expliquent par le fait que pour chaque $i=0,\dots ,n$, soit $p_{i}$ ou $q_{i}$ est nul.

Propriétés

• $B_{n}(P,Q)$ est une matrice symétrique ;
• $B_{n}(P,Q)=-B_{n}(Q,P)$;
• $B_{n}(P,P)=0$;
• $(P,Q)\mapsto B_{n}(P,Q)$ est une fonction bilinéaire ;
• $B_{n}(P,Q)$ est une matrice réelle si P et Q ont des coefficients réels ;
• $B_{n}(P,Q)$ est inversible si $n=\max(\deg(P),\deg(Q))$ si et seulement si P et Q n'ont aucune racine commune.
• $B_{n}(P,Q)$ avec $n=\max(\deg(P),\deg(Q))$ a pour déterminant le résultant de P et Q.
• Toute matrice de Bézout peut être réduite en une forme diagonale par blocs par une matrice de Vandermonde confluente .

Applications

Une application importante des matrices de Bézout se trouve en théorie du contrôle. Pour le constater, on considère f(z) un polynôme complexe de degré n et on note q et p les polynômes réels tels que f(iy) = q(y) + i p(y) (avec y réel). On note également r le rang et σ la signature de $B_{n}(p,q)$. On peut alors montrer que :

• f(z) a n − r racines communes avec son conjugué;
• les r racines restantes de f(z) sont situées de telle sorte que :
  • ( r + σ )/2 d'entre eux se trouvent dans le demi-plan gauche ouvert, et
  • ( r − σ )/2 se trouvent dans le demi-plan droit ouvert ;
• f est stable au sens de Hurwitz si et seulement si $B_{n}(p,q)$ est définie positive.

La troisième proposition énonce une condition nécessaire et suffisante de stabilité. Par ailleurs, la première proposition présente des similitudes avec un résultat concernant les matrices de Sylvester, tandis que la seconde peut être reliée au théorème de Routh-Hurwitz.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bézout matrix » (voir la liste des auteurs).

• Arthur Cayley, « Note sur la méthode d'élimination de Bezout », J. Reine Angew. Math., vol. 53,‎ 1857, p. 366–367 (DOI 10.1515/crll.1857.53.366, lire en ligne )
• (en) M. G. Kreĭn et M. A. Naĭmark, « The method of symmetric and Hermitian forms in the theory of the separation of the roots of algebraic equations », Linear and Multilinear Algebra, vol. 10, n^o 4,‎ 1981, p. 265–308 (ISSN 0308-1087, DOI 10.1080/03081088108817420, MR 638124)
• (en) Victor Pan et Dario Bini, Polynomial and matrix computations, Basel, Switzerland, Birkhäuser, 1994 (ISBN 0-8176-3786-9)
• (en) Anthony J. Pritchard et Diederich Hinrichsen, Mathematical systems theory I: modelling, state space analysis, stability and robustness, Berlin, Springer, 2005 (ISBN 3-540-44125-5)
• (en) James Joseph Sylvester, « On a Theory of the Syzygetic Relations of Two Rational Integral Functions, Comprising an Application to the Theory of Sturm's Functions, and That of the Greatest Algebraical Common Measure », Philosophical Transactions of the Royal Society of London, The Royal Society, vol. 143,‎ 1853, p. 407–548 (ISSN 0080-4614, DOI 10.1098/rstl.1853.0018 , JSTOR 108572, lire en ligne)